Exercice : Déstabilisation d'une solution

Il est bien connu que l'ajout d'un sel composé d'ions fortement chargés (ex : \[{\mathrm{Al}}^{\mathrm{3+}}\]) à une suspension très stable la déstabilise beaucoup plus efficacement qu'un sel composé d'ions de faible valence. C'est la loi de Schulze-Hardy. « l'efficacité » évoquée se traduit ici par la concentration \[{C}_{d}\] nécessaire à la déstabilisation. Elle est telle que la barrière de potentiel disparaît, autrement dit conduit à \[{V}_{T}\left(h\right)=0\] et \[{{dV}}_{T}\left(h\right)/{dh}=0\] . La suspension, initialement très stable, est caractérisée par un potentiel de surface élevé (\[{V}_{R}=2\pi \varepsilon R{\left(\frac{{4k}_{B}T\gamma }{\mathrm{ze}}\right)}^{2}{e}^{-K\left(r-2R\right)}\mathrm{avec}\gamma =\mathrm{tanh}\left(\frac{\mathrm{ze}{\phi }_{o}}{{4k}_{B}T}\right)\] : \[\gamma \approx 1\]).

Question

Montrer que la concentration nécessaire à la déstabilisation obéit à : \[{C}_{d}~{z}^{–6}\].

Solution

On part de l'équation

\[{V}_{R}=2\pi \varepsilon R{\left(\frac{{4k}_{B}T\gamma }{\mathrm{ze}}\right)}^{2}{e}^{-K\left(r-2R\right)}\mathrm{avec}\gamma =\mathrm{tanh}\left(\frac{\mathrm{ze}{\phi }_{o}}{{4k}_{B}T}\right)\]

et avec \[\gamma =1\] pour en déduire l'expression du potentiel d'interaction total : \[{V}_{T}\left(h\right)=–\frac{\mathrm{AR}}{12h}+2\pi \varepsilon R{\left(\frac{4{k}_{B}T}{\mathrm{ze}}\right)}^{2}{e}^{–\mathrm{Kh}}\]

\[K\] (et donc \[{C}_{d}\]) est tel que :

\[{V}_{T}\left({h}_{\mathrm{max}}\right)=–\frac{\mathrm{AR}}{12{h}_{\mathrm{max}}}+2\pi \varepsilon R{\left(\frac{4{k}_{B}T}{\mathrm{ze}}\right)}^{2}{e}^{–{\mathrm{Kh}}_{\mathrm{max}}}=0\]
\[{\frac{{{dV}}_{T}\left(h\right)}{{dh}}\mid }_{\mathrm{hmax}}=\frac{\mathrm{AR}}{12{h}_{\mathrm{max}}^{2}}–2\pi \varepsilon R{\left(\frac{4{k}_{B}T}{\mathrm{ze}}\right)}^{2}{Ke}^{–{\mathrm{Kh}}_{\mathrm{max}}}=0\]

D'où

\[{\mathrm{Kh}}_{\mathrm{max}}=1\]

et

\[K=\frac{24\pi \varepsilon }{A}{\left(\frac{4{k}_{B}T}{\mathrm{ze}}\right)}^{2}{e}^{–1}={\left(\frac{2{C}_{d}{z}^{2}{e}^{2}}{\varepsilon {k}_{B}T}\right)}^{1/2}\]

On en déduit : \[{C}_{d}\propto \frac{{\varepsilon }^{3}{T}^{5}}{{A}^{2}{z}^{6}}\]