Drainage du liquide entre deux particules

Nous avons vu qu'une petite particule en mouvement perpendiculairement à une paroi subissait une force de frottement plus élevée que celle donnée par la loi de Stokes. L'origine en a été donnée. Le problème est le même quand deux particules sont amenées à se rencontrer (une paroi plane n'est autre qu'une sphère de rayon infini). Cette résistance hydrodynamique retarde la collision entre deux particules et ralentit leur éventuelle agrégation. Il est à noter que son existence doit être obligatoirement compensée par des forces attractives (physico-chimiques) pour que l'agrégation se fasse.

Il a été montré [Vinogradova, 1999] que la résistance hydrodynamique (force exercée par le fluide sur les particules) obéissait à l'expression générale :

  • h est la distance la plus courte entre les surfaces des deux particules ;

  • {f}_{\textrm{géométrie}} est une fonction de la géométrie des deux particules (rayons de courbure) ;

  • {f}_{\mathrm{hydrophobie}} est une fonction du caractère hydrophile ou hydrophobe de la surface des particules ;

  • {U}_{p2}-{U}_{p1} est la vitesse relative des particules supposées en mouvement dans un fluide au repos.

Le cas le plus courant est celui de particules hydrophiles dans l'eau ({f}_{\mathrm{hydrophobie}}=1).

On examinera successivement la résistance hydrodynamique lors de l'approche entre une sphère et un plan, puis entre deux sphères.

  • pour un plan et sphère : {f}_{\textrm{géométrie}}={d}_{P}^{2}/2

  • pour deux sphères identiques : {f}_{\textrm{géométrie}}={d}_{P}^{2}/8

  • pour deux sphères de taille différente : {f}_{\textrm{géométrie}}={\left(\frac{1}{{d}_{\mathrm{p1}}}+\frac{1}{{d}_{\mathrm{P2}}}\right)}^{-2}/2

d'où :

  • pour un plan et sphère : {F}_{D}=3\pi \mu \left({U}_{p2}-{U}_{p1}\right)\frac{{d}_{p}^{2}}{2h}.

    Cette équation est équivalente à {F}_{D,z}=3\pi \mu {d}_{p}{\left({U}_{L}-{U}_{p}\right)}_{z}\left(\frac{1}{2h/{d}_{p}}\right).

  • pour deux sphères identiques : {F}_{D}=3\pi \mu \left({U}_{p2}-{U}_{p1}\right)\frac{{d}_{p}^{2}}{8h}.

  • pour deux sphères de taille différente : {F}_{D}=3\pi \mu \left({U}_{\mathrm{p2}}-{U}_{\mathrm{p1}}\right)\frac{1}{2h}{\left(\frac{1}{{d}_{\mathrm{p1}}}+\frac{1}{{d}_{\mathrm{p2}}}\right)}^{-2}.