Exercice : Vitesse terminale de chute

Question

Comparer la vitesse terminale de chute dans l'eau d'un agglomérat sphérique de 100 µm contenant 1000 particules primaires sphériques de 2 µm à celle d'une particule sphérique pleine de 100 µm.

Solution

La vitesse terminale de chute de la particule sphérique pleine obéit à :

\[\left({\rho }_{p}–{\rho }_{L}\right)\frac{\pi {d}_{p}^{3}}{6}g=3\pi \mu {d}_{p}{\left({U}_{p}–{U}_{L}\right)}_{\mathrm{pleine}}\]

Celle de la sphère poreuse obéit à :

\[\phi \left({\rho }_{p}–{\rho }_{L}\right)\frac{\pi {d}_{p}^{3}}{6}g=3\pi \mu {d}_{p}{\left({U}_{L}–{U}_{p}\right)}_{\mathrm{poreuse}}\frac{2{\alpha }^{2}\left(1–\frac{\mathrm{tanh}\alpha }{\alpha }\right)}{2{\alpha }^{2}+3\left(1–\frac{\mathrm{tanh}\alpha }{\alpha }\right)}\]

D'où

\[\frac{{\left({U}_{L}–{U}_{p}\right)}_{\mathrm{poreuse}}}{{\left({U}_{L}–{U}_{p}\right)}_{\mathrm{pleine}}}=\phi \frac{2{\alpha }^{2}+3\left(1–\frac{\mathrm{tanh}\alpha }{\alpha }\right)}{2{\alpha }^{2}\left(1–\frac{\mathrm{tanh}\alpha }{\alpha }\right)}\]

La fraction volumique en solide \[\phi \] de la sphère poreuse est : \[8×{10}^{–3}\] .

Sa perméabilité est \[k\simeq \frac{{\left(1–\phi \right)}^{3}{d}_{p1}^{2}}{180{\phi }^{2}}=3,4×{10}^{–10}{m}^{2}\]. Le paramètre \[\alpha \] est donc égal à \[2,7\].

D'où

\[\frac{{\left({U}_{L}–{U}_{p}\right)}_{\mathrm{poreuse}}}{{\left({U}_{L}–{U}_{p}\right)}_{\mathrm{pleine}}}=\phi \frac{2{\alpha }^{2}+3\left(1–\frac{\mathrm{tanh}\alpha }{\alpha }\right)}{2{\alpha }^{2}\left(1–\frac{\mathrm{tanh}\alpha }{\alpha }\right)}=0,008×1,79=0,0143\]
Remarque

Deux contributions apparaissent : l'effet de la quantité de matière et l'effet de la perméabilité. La première, prépondérante, diminue fortement la vitesse terminale de chute ; la seconde, beaucoup moins importante, augmente la vitesse terminale de chute.