Exercice : Calcul de la perméabilité d'un milieu poreux soumis à un écoulement laminaire

La loi de Poiseuille relie le débit volumique \[{Q}_{v}\] (ou la vitesse du fluide) au gradient de pression dans un tube cylindrique, quand l'écoulement y est laminaire.

Question

En assimilant le milieu poreux à un ensemble de cylindres de diamètre \[{d}_{p1}\], établir la relation entre la vitesse du fluide à l'entrée \[{U}_{0}\] et le gradient de pression ; en déduire une expression de la perméabilité.

On rappelle la loi de Poiseuille \[{Q}_{v}=\frac{\pi {d}_{p1}^{4}\Delta p}{128\mu h}\]

\[h\] est la longueur du tube.

Solution

Rappelons la loi de Poiseuille \[{Q}_{v}=\frac{\pi {d}_{p1}^{4}\Delta p}{128\mu h}\]

Surface intérieure d'un cylindre : \[\pi {d}_{p1}h\]

Volume d'un cylindre : \[\frac{\pi {d}_{p1}^{2}h}{4}\]

porosité : \[1–\phi =\frac{N}{V}\pi {d}_{p1}^{2}\frac{h}{4}\]

\[N\] et \[V\] sont le nombre de cylindres et le volume du milieu poreux.

Surface spécifique (en \[{m}^{2}/{m}^{3}\]) : \[a=\frac{N\pi {d}_{p1}h}{V\phi }=\frac{4\left(1–\phi \right)}{{d}_{p1}\phi }\]

or

\[{U}_{0}S=N\frac{\pi {d}_{p1}^{4}\Delta p}{128\mu h}\]

Soit \[{U}_{0}=\frac{N}{\mathrm{Sh}}\frac{\pi {d}_{p1}^{4}\Delta p}{128\mu }=\frac{{d}_{p1}^{2}\Delta p}{32\mu h}\left(1–\phi \right)=\frac{{\left(1–\phi \right)}^{3}}{2{a}^{2}{\phi }^{2}}\frac{\Delta p}{\mu h}\]

Si on tient compte de la tortuosité \[T\] des canaux, il faut remplacer dans les calculs précédents \[h\] par \[\mathrm{HT}\], \[H\] représentant la longueur macroscopique du milieu poreux. Ceci nous conduit à :

\[{U}_{0}=\frac{{\left(1–\phi \right)}^{3}}{2{a}^{2}{\phi }^{2}{T}^{2}}\frac{\Delta p}{\mu H}\]

Soit \[k=\frac{{\left(1–\phi \right)}^{3}}{2{a}^{2}{T}^{2}{\phi }^{2}}\]