Exercice : Azéotrope positif et négatif

Question

Déterminez les coordonnées des deux azéotropes du binaire benzène (1) - hexafluorobenzène (2) à T=353K.

On donne : On donne : \[{P}_{1}^{\left(s\right)}=100,54\textrm{ kPa}\], \[{P}_{2}^{\left(s\right)}=100,01\textrm{ kPa}\], \[{g}^{E}/RT={x}_{1}{x}_{2}\left({A}_{12}{x}_{1}+{A}_{21}{x}_{2}\right)\] avec \[{A}_{12}=0,2064\], \[{A}_{21}=-0,09607\].

Indice

Commencer par résoudre en \[{x}_{1}\] l'équation

\[\frac{\partial \left( {g}^{E}/RT\right)}{\partial {x}_{1}}+\ln \frac{{P}_{1}^{\left(s\right)}}{{P}_{2}^{\left(s\right)}}=0\]

pour obtenir la composition de l'azéotrope. La pression de l'azéotrope se détermine ensuite par

\[P=P_1^{\left(s\right){x_1}} P_2^{\left(s\right){x_2} }\exp \left(g^E / RT\right)\]

Solution

Sachant que \[{g}^{E}/RT={x}_{1}{x}_{2}\left({A}_{12}{x}_{1}+{A}_{21}{x}_{2}\right)\] , on obtient sa dérivée analytique par rapport à \[{x}_{1}\]  :

\[\frac{d\left({g}^{E}/RT\right)}{d{x}_{1}}=\left({x}_{2}-{x}_{1}\right)\left({A}_{12}{x}_{1}+{A}_{21}{x}_{2}\right)+{x}_{1}{x}_{2}\left({A}_{12}-{A}_{21}\right)\]

Par ailleurs, \[\ln \left( \frac{{P}_{1}^{\left(s\right)}}{{P}_{2}^{\left(s\right)}} \right)=0,00537\]. Nous appellerons \[K\] cette valeur par la suite.

Il faut donc résoudre

\[\frac{d\left({g}^{E}/RT\right)}{d{x}_{1}}+K=0\]

ce qui prend la forme :

\[3\left({A}_{21}-{A}_{12}\right){x}_{1}^{2}+\left(2{A}_{12}-4{A}_{21}\right){x}_{1}+{A}_{21}+K=0\]

soit numériquement :

\[-0,9073{x}_{1}^{2}+0,7970{x}_{1}-0,0907=0\]

Cette équation admet bien deux racines, qui sont les compositions des deux azéotropes : \[{x}_{1,1}=0,1344\] et \[{x}_{1,2}=0,7441\]

Pour le premier azéotrope \[{g}^{E}\left( x_{1,1} \right) /RT=-0,00645\]  : c'est bien un azéotrope négatif. La pression vaut \[P={100,54}^{0,1344}\times {100,01}^{0,8656}\times \exp \left(-0,00645\right)=99,44 \textrm{ kPa}\]

Pour le deuxième azéotrope, \[{g}^{E}\left( x_{1,2} \right) /RT=0,0246\]  : c'est bien un azéotrope positif. On calcule une pression de 102,9 kPa.