Exercice : Calcul pour un air humide

On mesure dans l'air ambiant (1atm, 25°C) une humidité relative[1] de 65%.

La pression de saturation de l'eau, en fonction de la température, est donnée par :

\[\ln {P}_{e}^{\left(s\right)}\left(T\right)=23,1964-\frac{3816,44}{T-46,13}\]

(avec \[T\]en K et \[{P}_{e}^{\left(s\right)}\]en Pa)

Masse molaire de l'eau \[{\cal M}_{e}=18\textrm{ g/mol}\], \[{\cal M}_{a}=29\textrm{ g/mol}\]

Question

Calculez la fraction molaire[2] en vapeur d'eau dans cet air, ainsi que l'humidité absolue[3].

Indice

  1. écrire la relation d'équilibre liquide-gaz pour l'eau, pour calculer la fraction molaire[2] d'eau dans l'air saturé

  2. multiplier cette fraction molaire[2] par l'humidité relative[1] pour obtenir la fraction molaire[2] de vapeur d'eau dans l'air

  3. utiliser les masses molaires pour exprimer les masses de vapeur d'eau et d'air sec dans un nombre de moles donné de mélange

  4. en déduire l'humidité relative[1]

Solution

L'équilibre liquide-vapeur conduit à :

\[\begin{array}{ccc}{f}_{e}^{\left(V,\mathrm{eq}\right)}& =& {f}_{e}^{\left(L,\mathrm{pur}\right)}\\ P{y}_{e}^{\left(\mathrm{eq}\right)}& =& {P}_{e}^{\left(s\right)\left(T\right)}\\ P{y}_{e}^{\left(\mathrm{eq}\right)}& =& 3143\mathrm{Pa}\end{array}\]

pour \(P = 1 \textrm{ atm} = 101325 \textrm{ Pa}\), cela donne \[{y}_{e}^{\left(\mathrm{eq}\right)}=0,0310\].

La fraction molaire[2] effective de vapeur d'eau dans l'air est : \[{y}_{e}=\psi {y}_{e}^{\left(\mathrm{eq}\right)}=0,0202\]

Soient \[N\] moles d'un tel mélange, il contient \[{y}_{e}N\] moles de vapeur d'eau, et \[\left(1-{y}_{e}\right)N\] moles d'air sec. La masse de vapeur d'eau est donc \[{m}_{e}={y}_{e}N{\cal M}_{e}\], celle d'air \[{m}_{a}=\left(1-{y}_{e}\right)N{\cal M}_{a}\]

L'humidité absolue[3] est donc \[w=\frac{{y}_{e}{\cal M}_{e}}{\left(1-{y}_{e}\right){\cal M}_{a}}\]

AN : \(w=0,0128\) kg de vapeur d'eau par kg d'air sec.