Exercice : Bilan de matière

On souhaite séparer un mélange méthanol-eau, contenant 40% de méthanol en fraction molaire[1], pour obtenir au distillat[2] du méthanol pur à 98% et au résidu[3] de l'eau pure à 97%. Le débit molaire de la charge est de 1 kmol/h.

On rappelle que le taux de récupération d'un constituant dans l'une des sorties est le rapport du débit de ce constituant dans cette sortie au débit de ce constituant dans la charge.

Question

Calculer les débits de distillat[2] et de résidu[3], ainsi que le taux de récupération de chaque constituant dans le distillat[2].

Indice

Comme il n'y a pas de réaction chimique, on peut écrire un bilan matière (en débits molaires) pour chaque constituant sur l'ensemble de la colonne (entre les débits de charge, de distillat[2] et de résidu[3]).

Solution

Soient \[F\], \[d\] et \[b\] respectivement les débits molaires de charge, de distillat[2] et de résidu, \[{z}_{A}\], \[{x}_{A}^{\left(d\right)}\], \[{x}_{A}^{\left(b\right)}\] les fractions molaires[1] de méthanol dans ces trois débits.

Un bilan matière global sur la colonne donne :

\[F=d+b\]

Un bilan matière sur le méthanol donne :

\[F{z}_{A}=d{x}_{A}^{\left(d\right)}+b{x}_{A}^{\left(b\right)}\]

ce qui constitue un système de deux équations à deux inconnues \[d\] et \[b\]. On aurait aussi pu écrire un bilan matière sur l'eau, mais il n'aurait pas été indépendant des deux équations ci-dessus.

La résolution donne :

\[d=F\frac{{z}_{A}-{x}_{A}^{\left(b\right)}}{{x}_{1}^{\left(d\right)}-{x}_{A}^{\left(b\right)}}=0,389\textrm{ kmol/h}\]
\[b=F\frac{{x}_{A}^{\left(d\right)}-{z}_{A}}{{x}_{A}^{\left(d\right)}-{x}_{A}^{\left(b\right)}}=0,611\textrm{ kmol/h}\]

Le taux de récupération du méthanol dans le distillat[2] est :

\[{\tau }_{A}^{\left(d\right)}=\frac{d{x}_{A}^{\left(d\right)}}{Fz_A}=95,4\%\]

et le taux de récupération de l'eau dans le distillat[2] est :

\[{\tau }_{B}^{\left(d\right)}=\frac{d{x}_{B}^{\left(d\right)}}{Fz_B}=\frac{d\left(1-{x}_{A}^{\left(d\right)}\right)}{F\left(1-{z}_{A}\right)}=1,3 \%\]