Exercice : Air humide et température de rosée

De l'air à pression atmosphérique, de température 40°C et de 65% d'humidité relative[1] est progressivement refroidi.

La pression de saturation de l'eau, en fonction de la température, est donnée par :

\[\ln {P}_{e}^{\left(s\right)}\left(T\right)=23,1964-\frac{3816,44}{T-46,13}\]

(avec \[T\]en K et \[{P}_{e}^{\left(s\right)}\]en Pa)

Masse molaire de l'eau \[{\cal M}_{e}=18\textrm{ g/mol}\], \[{\cal M}_{a}=29\textrm{ g/mol}\]

Question

Calculez sa température de rosée[2] (température à laquelle l'eau liquide commencera à condenser).

Indice

Il faut bien comprendre que lorsqu'on abaisse la température d'un air humide, et tant qu'on ne condense pas d'eau liquide, sa composition (en termes de fractions molaires[3] ou d'humidité absolue[4]) ne varie pas, par contre l'humidité relative[1] augmente (puisque la pression de saturation de l'eau diminue).

La vapeur commence à condenser lorsque l'air devient saturé, c'est-à-dire lorsque l'humidité relative[1] devient égale à 100%.

Solution

On commence par calculer la fraction molaire[3] de vapeur d'eau dans l'air (\[\psi =65\%\] à 40°C) :

\[{P}_{e}^{\left(s\right)}=7359\mathrm{Pa}\], d'où \[{y}_{e}^{\left(\mathrm{eq}\right)}=0,0726\] et \[{y}_{e}=0,047\]

Pour trouver la température de rosée[2], il faut chercher à quelle température un air contenant une fraction molaire[3] de vapeur d'eau \[{y}_{e}\] est saturé, c'est-à-dire la température \[{T}_{r}\] telle que :

\[{P}_{e}^{\left(s\right)}\left({T}_{r}\right)={y}_{e}P\]

Dans cette équation, nous connaissons l'expression de \[{P}_{e}^{\left(s\right)}\] en fonction de \[{T}_{r}\], \[{y}_{e}\] a été calculé plus haut, et la pression \[P\] est la pression atmosphérique. Il faut donc résoudre en \[{T}_{r}\] l'équation :

\[23,1964-\frac{3816,44}{T_r-46,13}=\ln\left(0,047 \times 101325\right)\]

on trouve \[{T}_{r} = 305 \textrm{ K}\], soit 32°C