Exercice : Démonstration des résultats de l'exercice précédent
Démontrer théoriquement le rapport d'influence du diamètre moyen et de la masse volumique des particules sur la vitesse minimale de fluidisation \(U_{\rm mf}\) puis l'influence de la température du lit fluidisé pour retrouver les résultats de l'exercice précédent.
Propriétés utilisables de l'air : viscosité dynamique \(\mu_{\rm fluid} = {5,2. 10^{-7}}{} T^{0,635}\) (\({\, \rm Pa.s}\)) (\(T\) en \({\rm K}\)) masse volumique dans les conditions normales \(\rho_N = {1,29}{\, \rm kg.m^{-3} }\).
Question
Démontrer théoriquement l'influence des propriétés des particules d'un lot de particules toutes identiques sur la valeur de la vitesse minimale de fluidisation du lot.
Indice
Pour démontrer l'influence des propriétés des particules, on utilisera la relation de Wen et Yu, puis on formera le ratio des vitesses minimales d'un lot de particules de type 1 et d'un lot de particules de type 2, chaque type de particules ayant une taille et masse volumique apparente différente l'un de l'autre.
Indice
On fera ensuite un développement limité à l'ordre 1 du numérateur et du dénominateur du ratio ainsi formé en analysant la valeur des termes présents dans chacun d'eux.
Solution
La vitesse minimale de fluidisation du lot de particules du type 1 rapportée à la vitesse minimale de fluidisation de celles du type 2 est proportionnel au carré du ratio du diamètre du type 1 au diamètre du type 2, multiplié par le ratio des masses volumiques apparentes des deux types de solides dans le même ordre (1 par rapport à 2). La taille de la particule a donc deux fois plus d'influence que la masse volumique apparente.
Question
Démontrer théoriquement l'influence des propriétés du gaz, elle-mêmes influencées par la température, sur la valeur de la vitesse minimale de fluidisation d'un lot de particules toutes identiques.
Indice
On utilisera la méthode de calcul de la vitesse minimale de fluidisation en revenant à la définition et à la loi d'Ergun. On fera deux démonstrations successives en se plaçant successivement dans les cas de particules fines puis de particules grossières, en ayant au préalable remarqué quels termes de la loi d'Ergun sont alors prédominants.
Solution
Pour de fines particules, \(U_{\rm mf}\) est proportionnelle à l'inverse de la viscosité et donc pour de l'air, à la température en \({\rm K}\) à la puissance –0,625 ; tandis que pour des particules grossières \(U_{\rm mf}\) est proportionnelle à l'inverse de la racine carrée de la masse volumique du gaz de fluidisation, donc pour un gaz parfait à la racine de la température en \({\rm K}\). Donc pour les fines, \(U_{\rm mf}\) décroît quant T augmente, et c'est l'inverse pour les grosses particules (voir le graphique de la solution de l'exercice précédent).