Définition de différents facteurs de forme

Introduction

La notion de sphère équivalente (ou cercle) qui permet de représenter des particules de formes quelconques par une seule valeur, est très utilisée mais cette pratique est dans certains cas beaucoup trop réductrice. Pour les particules de formes très irrégulières impliquées dans des procédés où la forme joue un rôle important, il est nécessaire d'affiner la description granulométrique et de décrire le grain non plus à l'aide d'un paramètre unique, mais en lui adjoignant des paramètres supplémentaires qui tentent de quantifier dans quelle mesure l'objet étudié s'éloigne de la sphère modèle : ce sont les facteurs de forme.

DéfinitionFacteurs de forme

Coefficients de forme pour une particule de taille caractéristique \(L\) :

  • Coefficient de forme surfacique : \(\textrm{surface particule} = F_S . L^2 \)

  • Coefficient de forme volumique : \(\textrm{volume particule} = F_V . L^3\)

Facteurs d'allongement et d'aplatissement :

  • Indice d'allongement = largeur / longueur

  • Indice d'aplatissement = épaisseur / longueur

Facteurs de sphéricité : On peut définir plusieurs facteurs de sphéricité, selon la sphère équivalente considérée. Les principaux facteurs de sphéricité sont développés ci-dessous. Il en existe d'autres, mais tous se ramènent à l'un de ceux-là ou à l'une de leurs combinaisons. Si les objets considérés sont des sphères, ces facteurs sont égaux à 1.

\(\varphi_V = \frac{\textrm{surface de la sphère de même volume que la particule}}{\textrm{surface de la particule}}\)

\(\varphi_A = \frac{\textrm{volume de la sphère de même surface que la particule}}{\textrm{volume de la particule}}\)

\(\varphi_a = \frac{\textrm{surface de la sphère de même surface spécifique que la particule}}{\textrm{surface de la particule}}\)

Exemple

Sphère

Cube

\(F_S\)

\(p\)

6

\(F_V\)

\(\frac{p}{6}\)

1

La liste précédente n'est pas exhaustive, on peut définir des facteurs de forme liés à des fonctionnalités particulières. Le facteur de rugosité et le facteur de Stokes définis ci-après en sont des exemples.

Facteur de Stokes

Ce facteur, basé sur la sédimentation des particules, compare la vitesse terminale de chute de la particule à la vitesse d'une sphère de même masse et de même volume dans un même fluide visqueux (liquide en général).

\(\varphi_{\textrm{Stokes}} = \frac{18\mu u_T}{\left(\rho_s -\rho_l\right)g d_{\textrm{mass}}^2}\)

\(\mu\) viscosité du liquide

\(\rho_S\) masse volumique du solide

\(\rho_l \)masse volumique du liquide

\(d_{\textrm{mass}}\) diamètre de sphère équivalente en masse (ou en volume)

Si m est la masse de la particule, le diamètre de sphère équivalente en masse est :

\(\sqrt[3]{\frac{6m}{\rho_s \mu}}\)

Pour calculer \(\varphi_{\textrm{Stokes}}\) il faut donc connaître la masse de la particule, sa masse volumique ainsi que sa vitesse de chute.

Facteur de rugosité

Cet exemple, issu d'une publication (Which shape factor(s) best describe granules ? AM Buwman et al. Powder Technology 146 ( 2004) 66-72), montre une façon de caractériser la rugosité de granulés à partir d'images 2D obtenues au microscope.

Par analyse d'image, il est possible de calculer le périmètre des particules en nombre de pixels. Si l'on cherche à suivre le contour exact des particules on parlera de périmètre rugueux, \(P_{\textrm{rugueux}}\) (qui dépend de l'échelle de mesure et de la résolution de l'image sur le périmètre). Un périmètre lisse, \(P_{\textrm{lisse}}\), est obtenu en traçant un polygone par intersection de 72 lignes tracées tous les 5 degrés à partir du centre de la gravité de la particule.

Facteur de rugosité :

\( R = 1-\frac{P_{\textrm{lisse}}}{P_{\textrm{rugueux}}}\)

Exemple

1 mma)b)c)d)
Granulés (a) Lactose, (b) Dextrine, (c) MCC, (d) MFCInformations[1]
0.00.10.20.30.40.5MFCMCCdextrinα-lactose
Facteurs de rugosité des granulés de la figure précédenteInformations[2]