Définition de différents diamètres équivalents

On raisonne souvent en termes de diamètre équivalent des particules, en considérant un objet de forme simple qui aurait une même propriété que la particule elle-même : même surface ou même volume, par exemple.

Notions de sphère équivalente et de diamètre équivalentInformations[1]

On distingue trois groupes de diamètres équivalents :

  • diamètres de sphère équivalente,

Les diamètres de sphère équivalente

Nom

Propriété équivalente de la sphère

Expression

\(d_V\)

Diamètre en volume

Volume

\(V=\frac{\pi}{6}d_V^3\)

\(d_S\)

Diamètre en surface

Surface

\(S=\pi d_S^2\)

\(d_{SV}\)

Diamètre en surface spécifique

Surface/volume

\(d_{SV} = \frac{d_V^3}{d_S^2}\)

\(d_d\)

Diamètre de poussée

Résistance au déplacement dans le même fluide, à même vitesse (régime de Stokes)

\(F_d=3\pi d_d \mu u\)

\(d_f\)

Diamètre de chute

Vitesse de chute libre dans le même liquide et pour un grain de même masse volumique

\(u_T=\frac{\left(\rho_s - \rho_l \right) g d_{stk}^2}{18\mu}\)

\(d_{stk}\)

Diamètre de Stokes

Vitesse de chute libre suivant la loi de Stokes (\(Re_t < 0,2\))

avec \(Re_t = \frac{\rho_i u_T d}{\mu}\)

\(d_{stk}= \sqrt{\frac{d_V^3}{d_d}}\)

\(d_A\)

Diamètre de maille

Passage au travers de la même ouverture carrée

  • diamètres de cercle équivalent,

Les diamètres de cercle équivalent

Nom

Propriété équivalente du cercle

Expression

\(d_a\)

Diamètre de surface projetée

Surface projetée, particule stable

\(A=\frac{\pi}{4}d_a^2\)

\(d_p\)

Diamètre de surface projetée

Surface projetée, particule en position aléatoire

\(S=\pi d_a^2\)

\(d_c\)

Diamètre en périmètre

Périmètre extérieur

\(P=\pi d_c\)

  • diamètres statistiques.

Les diamètres statistiques

Nom

Dimension mesurée

\(d_F\)

Diamètre de Feret

Distance entre deux tangentes sur des côtés opposés de la particule

\(d_M\)

Diamètre de Martin

Longueur moyenne de corde sur la surface projetée de la particule

Dans le cas des diamètres statistiques, on mesure une dimension linéaire parallèlement à une direction fixe. Cette notion est utile en microscopie.

Remarque

Pour décrire une particule on choisit généralement le diamètre équivalent qui permet de conserver la propriété la plus importante pour son usage ultérieur. Notons que dans les cas de séparation solide-liquide par décantation gravitaire ou centrifuge où le mécanisme est gouverné par le mouvement relatif des particules par rapport au fluide, le diamètre le plus adapté est le diamètre de chute ou le diamètre de Stokes. En filtration, le diamètre en surface spécifique correspond le mieux au mécanisme de séparation qui est mis en œuvre.

ExempleCalcul de différents diamètres de sphères équivalentes pour un cube d'arête l=1

Diamètres de sphères équivalentes pour un cube d'arête \(l=1\)

Cube

Sphère

Diamètre équivalent

Volume

\(l^3\)

\(\frac{\pi d_v^3}{6}\)

\(d_v = 1,24\)

Surface

\(6.l^2\)

\(\pi d_a^2\)

\(d_a = 1,38\)

Surface spécifique

\(\frac{6}{l}\)

\(\frac{6}{d_{SV}}\)

\(d_{SV} = 1\)

Attention

En pratique, quelle taille mesure-t-on ? Comme on le verra plus loin les méthodes d'analyse granulométrique différencient et classent les particules en s'appuyant sur différentes propriétés liées à leur taille. Ainsi le type de taille mesuré (ou diamètre équivalent, car dans la plupart des cas on suppose que les particules sont sphériques) dépend du principe physique de la méthode d'analyse employée. Par exemple, les compteurs à variation d'impédance donnent des diamètres de sphères équivalentes en volume alors que le Sedigraph donne un diamètre de Stokes.

Malheureusement, les méthodes d'analyse granulométrique sont nombreuses et il est rare de les avoir toutes à disposition. Le manipulateur est de ce fait souvent amené à travailler avec des diamètres qui ne correspondent pas aux applications recherchées, commettant ainsi des erreurs qui peuvent être importantes.

Par exemple, considérons une particule cubique d'arête l dont on détermine un diamètre équivalent en surface projetée à partir d'une mesure au microscope de cette même grandeur. Le diamètre équivalent en surface projetée \(d_{sp}\) est alors égal à 1,13 et l'erreur commise en calculant le volume de cette particule à partir de ce diamètre est de \({24}{\, \%}\) par rapport à la valeur réelle. Dans ce cas, puisque c'est le volume que l'on veut obtenir, c'est le diamètre équivalent en volume qu'il aurait fallu mesurer.