Calcul des facteurs de sphéricité pour un cube et une aiguille

Question

Établir des relations entre les différents facteurs de sphéricité (surface, volume et surface spécifique).

Indice

On peut commencer par exprimer chaque facteur de forme en fonction de diamètres de sphères équivalentes.

Solution

La sphère de même volume que la particule a pour diamètre \(d_V\) et pour surface \(\pi d_V^2\). Par ailleurs la surface de la particule est aussi la surface de sa sphère équivalente en surface, de diamètre \(d_a\), c'est-à-dire \(\pi d_a^2\).

Ainsi :

\(\varphi_V = \frac{\pi d_V^2}{\pi d_a^2} = {\left( \frac{d_V}{d_a}\right)}^2\)

On montre de la même façon que :

\(\varphi_A = \frac{\frac{\pi}{6} d_a^3}{\frac{\pi}{6} d_V^3} = {\left( \frac{d_a}{d_V}\right)}^3\)

et

\(\varphi_a = \frac{\pi d_{SV}^2}{\pi d_a^2} = {\left( \frac{d_{SV}}{d_a}\right)}^2\)

Comme le diamètre de sphère équivalente en surface/volume \(d_{SV}\) est égal à

\(\frac{d_V^3}{d_a^2}\)

(vu précédemment), il vient :

\(\varphi_a = \ {\left( \frac{d_V}{d_a}\right)}^6\)

On en déduit facilement les relations entre les trois facteurs de sphéricité :

\(\varphi_a = \varphi_V ^3= {\left(\frac{1}{\varphi_A}\right)}^2\)

Question

Calculer les trois facteurs de sphéricité pour un cube d'arête \(l=1\) et une aiguille de dimensions \(L=1\) et \(l=e=0,1\).

Solution

On établit en premier lieu les relations qui permettent de calculer les diamètres de sphère équivalentes :

\(S\)

6

0,42

\(\pi d_a^2\)

\(V\)

1

0,01

\(\frac{\pi}{6}d_V^3\)

\(S/V\)

6

42

\(\frac{6}{d_{SV}}\)

Les diamètres équivalents et les facteurs de sphéricité sont calculés dans le tableau suivant :

Diamètres équivalents et facteurs de sphéricité

\(d_V\)

\(d_a\)V

\(d_{SV}\)

\(\varphi_V = \left(\frac{d_V}{d_a}\right)^2\)

\(\varphi_A = \left(\frac{d_a}{d_V}\right)^3\)

\(\varphi_a = \left(\frac{d_V}{d_a}\right)^6\)

Cube

1,24

1,38

1

0,81

1,38

0,53

Aiguille

0,27

0,36

0,14

0,56

2,37

0,18