Manipulation des diamètres équivalents

Diamètre de poussée en fonction du diamètre de Stokes et du diamètre équivalent en volume

On souhaite calculer le diamètre équivalent en force de poussée \(d_d\) à partir du diamètre de Stokes \(d_{stk}\) et du diamètre équivalent en volume \(d_V\). On considérera pour cela une particule de forme quelconque en chute libre dans un liquide.

Notations :

  • \(\rho_s\) masse volumique du solide

  • \(V\) volume de la particule

  • \(F_p\) force de poussée (traînée) exercée sur la particule

  • \(\rho_l\) masse volumique du liquide

  • \(\mu\) viscosité du liquide

Question

Montrer que :

\(d_{stk} = \sqrt{\frac{d_V^3}{d_d}}\)

Indice

Diamètre de Stokes équivalent : la vitesse de sédimentation (aux faibles Reynolds) est conservée.

Un bilan des forces exercées sur une particule qui sédimente à vitesse constante permet d'exprimer sa force de poussée \(F_p\) en fonction de son volume \(V\). Il est alors possible de relier la vitesse u aux diamètres de sphère équivalentes en force de poussée (\(d_d\)) et en volume (\(d_V\)) en exprimant \(F_p\) et \(V\) en fonction de ceux-ci.

Par ailleurs, si la particule sédimente à sa vitesse terminale de chute en régime laminaire, sa vitesse u peut s'écrire selon la loi de Stokes, en fonction du diamètre de sphère équivalente en vitesse de chute libre (\(d_{stk}\)).

Solution

Bilan des forces exercées sur une particule en chute libre à vitesse constante : la force de traînée et la force d'Archimède sont opposées au poids.

Forces exercées sur une particule en sédimentationInformations[1]

\(\vec{P} +\vec{F_P}+\vec{P_A}=\vec{0}\)

d'où :

\(F_P = P - P_A\)

et :

\(F_P = \left(\rho_s - \rho_l \right) V g\)

Il est par ailleurs possible d'exprimer \(F_p\) et \(V\) en fonction des diamètres de sphère équivalentes correspondantes :

\(F_P = 3 \pi \mu d_d u\)

\(V = \frac{\pi}{6}d_V^3\)

d'où :

\(u = \left( \rho_s - \rho_l\right) \frac{g}{18\mu}\frac{d_V^3}{d_d}\)

Si la vitesse u est atteinte en régime laminaire, elle s'exprime par la loi de Stokes :

\(u_T = \Delta \rho \frac{g}{18\mu}d_{stk}^2\)

On montre ainsi que :

\(d_{stk} = \sqrt{\frac{d_V^3}{d_d}}\)