Exercice : Calcul de la vitesse de consolidation en fonction de la vitesse de collision et de l'efficacité d'agrégation

Question

Montrer à partir du schéma présentant les processus d'agrégation et d'agglomération[1] que, si on admet que la vitesse de rupture des agrégats et leur vitesse de consolidation sont toutes deux proportionnelles à la concentration des desdits agrégats avec des constantes de proportionnalité respectives \[{k}_{r}\] et \[{k}_{c}\], on obtient :

\[{R}_{\mathrm{AG}}=\frac{\alpha {r}_{\mathrm{col}}}{\left(1+\frac{{k}_{r}}{{k}_{c}}\right)}=\alpha {r}_{\mathrm{col}}{\eta }_{\mathrm{AG}}\]

Indice

On considérera que l'agrégat intermédiaire est instable et on lui appliquera une hypothèse de type état quasi-stationnaire.

Solution

Partons du schéma de l'agglomération suivant :

\[\begin{array}{ccccc} ~ & \textrm{collision }{r}_{\textrm{col}}\alpha & ~ &\textrm{consolidation }{r}_{c} & ~ \\ \textrm{particule }i +\textrm{particule }j& \Leftrightarrow & \textrm{agrégat }i–j & \rightarrow & \textrm{agglomérat }ij \\ ~ & \textrm{rupture }{r}_{r} & ~ & ~ & ~ \end{array}\]

Écrivons que l'agrégat \[i–j\] est instable : sa vitesse de création est alors approximativement égale à sa vitesse de destruction, puisque sa concentration doit rester faible. De plus, on suppose que la rupture et la consolidation des agrégats ne dépendent que de la concentration des agrégats en suspension ; ces processus sont alors tous deux du premier ordre :

\[{r}_{c}={k}_{c}{C}_{i–j}=\alpha {r}_{\mathrm{col}}–{r}_{r}=\alpha {r}_{\mathrm{col}}–{k}_{r}{C}_{i–j}\]

D'où

\[{C}_{i-j}=\frac{\alpha {r}_{\mathrm{col}}}{{k}_{c}+{k}_{r}}\]

et

\[{r}_{c}=\frac{\alpha {r}_{\mathrm{col}}}{1+\frac{{k}_{r}}{{k}_{c}}}\]

Soit encore, en introduisant l'efficacité d'agglomération \[{\eta }_{\mathrm{AG}}\] :

\[{r}_{c}=\alpha {r}_{\mathrm{col}}{\eta }_{\mathrm{AG}}\]

où

\[{\eta }_{\mathrm{AG}}=\frac{1}{1+\frac{{k}_{r}}{{k}_{c}}}\]