Exercice : Calcul des vitesses de nucléation, croissance cristalline et du noyau d'agglomération dans un cristallisoir agité continu

Dans un cristallisoir continu en régime stationnaire, sans particules dans l'alimentation, où ont lieu à la fois une nucléation de vitesse \[{r}_{N}\][1], une croissance de vitesse \[G\][2] indépendante de la taille des particules et une agglomération[3] de particules avec un noyau \[{\beta }_{\mathrm{AG}}\][4] indépendant des tailles de particules, établissez le jeu d'équations nécessaires au calcul des moments[5] de la distribution \[n\left({d}_{p}\right)\] en fonction de la taille de cristaux en sortie.

Question

Connaissant le temps de passage \[\tau \] dans l'installation et en calculant les moments d'ordre 0 à 6 à partir de la distribution granulométrique \[n\left({d}_{p}\right)\] mesurée, comment peut-on déterminer la vitesse de croissance[2] \[G\][2] le noyau constant d'agglomération \[{\beta }_{\mathrm{AG}}\][4] , et la vitesse de nucléation[1] \[{r}_{N}\][1] ?

Indice

On partira du bilan de population en tailles obtenu à l'exercice précédent, qu'on multipliera par \[{v}_{p}^{k}\] avec \[k=0,1,2\] et qu'on intégrera en fonction du volume \[{v}_{p}\][7] pour obtenir une équation en moments.

Solution

Partons du bilan de population en volume, mais tenons compte du fait qu'il n'y a pas de particules dans le courant d'entrée (\[{n}_{\mathrm{vE}}=0\]), ni de terme transitoire d'accumulation.

\[\begin{array}{c}\frac{\partial \left({G}_{v}{n}_{v}\right)}{\partial {v}_{p}}+{Q}_{S}\frac{{n}_{\mathrm{vS}}}{V}-{r}_{N}{\delta }_{v}\left({v}_{p}-{v}_{\mathrm{pc}}\right)=\\ \frac{1}{2}{\int }_{0}^{{v}_{p}}{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p1}}\right){n}_{v}\left({v}_{p}-{v}_{\mathrm{p1}}\right){{dv}}_{\mathrm{p1}}\\ -{n}_{v}\left({v}_{p}\right){\int }_{0}^{\infty }{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left(v{\textrm{'}}_{p}\right){dv}{\textrm{'}}_{p}\end{array}\]

Dans un cristallisoir agité continu, la densité de population en sortie est égale à celle régnant dans la cuve. Pour obtenir une équation faisant intervenir les moments d'ordre[8] \[k\][9] de \[{n}_{v}\], multiplions les deux membres par \[{v}_{p}^{k}{{dv}}_{p}\] et intégrons de zéro à l'infini sur tous les volumes de particules.

\[\begin{array}{c}{\int }_{0}^{\infty }{v}_{p}^{k}\frac{\partial \left({G}_{v}{n}_{v}\right)}{\partial {v}_{p}}{{dv}}_{p}+\frac{{Q}_{S}}{V}{\int }_{0}^{\infty }{v}_{p}^{k}{n}_{v}{{dv}}_{p}-{r}_{N}{\int }_{0}^{\infty }{v}_{p}^{k}{\delta }_{v}\left({v}_{p}-{v}_{\mathrm{pc}}\right){{dv}}_{p}=\\ \frac{1}{2}{\int }_{0}^{\infty }{\int }_{0}^{{v}_{p}}{\beta }_{\mathrm{AG}}{v}_{p}^{k}{n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p1}}\right){n}_{v}\left({v}_{p}-{v}_{\mathrm{p1}}\right){{dv}}_{\mathrm{p1}}{{dv}}_{p}\\ -{n}_{v}\left({v}_{p}\right){\int }_{0}^{\infty }{\int }_{0}^{\infty }{v}_{p}^{k}{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left(v{\textrm{'}}_{p}\right){dv}{\textrm{'}}_{p}{{dv}}_{p}\end{array}\]

On reconnaît dans le second membre l'expression de \[{M}_{k,\mathrm{AG}}\][10]. De plus, la 1ière intégrale dans le membre de gauche peut aisément se transformer en tenant compte des relations entre \[{G}_{v}\] et \[G\], \[{n}_{v}={n}_{\mathrm{vS}}\] et \[n={n}_{S}\], \[{v}_{p}\] et \[L\]. Comme :

\[{\int }_{0}^{\infty }{v}_{p}^{k}{\delta }_{v}\left({v}_{p}-{v}_{\mathrm{pc}}\right){{dv}}_{p}={\left[{v}_{p}^{k}\right]}_{{v}_{p}={v}_{\mathrm{pc}}}\]

on a :

\[{\int }_{0}^{\infty }{\Phi }_{v}^{k}{d}_{p}^{3k}\frac{\partial \left(Gn\right)}{\partial L}{dL}+\frac{{Q}_{S}}{V}{m}_{\mathrm{vk}}-{r}_{N}{v}_{\mathrm{pc}}^{k}={M}_{k,\mathrm{AG}}\]

Si \[k=0\], l'intégrale à gauche vaut \[{ \left[\mathrm{Gn} \right]}_{0}^{\infty }=0\], et en tenant compte de la relation entre \[{M}_{0,\mathrm{AG}}\] et \[{m}_{0}\] :

\[\frac{{Q}_{S}}{V}{m}_{0}-{r}_{N}=-{\beta }_{\mathrm{AG}}\frac{{m}_{0}^{2}}{2}\]

Pour \[k\ge 1\], remplaçons \[{M}_{k,\mathrm{AG}}\][10] en fonction de \[{m}_{k}\][5], et intégrons par parties l'intégrale en \[L\] restante :

\[-3k{\Phi }_{v}^{k}G{m}_{3k-1}+\frac{{Q}_{S}}{V}{\Phi }_{v}^{k}{m}_{3k}-{r}_{N}{\Phi }_{v}^{k}{d}_{\mathrm{pc}}^{3k}={M}_{k,\mathrm{AG}}\]

Soit, en divisant les deux membres par \[{\phi }_{v}^{k}\] :

\[-3kG{m}_{3k-1}+\frac{{Q}_{S}}{V}{m}_{3k}-{r}_{N}{d}_{\mathrm{pc}}^{3k}=\frac{{M}_{k,\mathrm{AG}}}{{\Phi }_{v}^{k}}\]

Si \[k\ge 1\], le terme de nucléation peut alors être négligé, car \[{d}_{\mathrm{pc}}\] est petit. Pour \[k=1\], on obtient finalement :

\[-3G{m}_{2}+\frac{{Q}_{S}}{V}{m}_{3}=0\]

Pour \[k=2\], on obtient :

\[-6G{m}_{5}+\frac{{Q}_{S}}{V}{m}_{6}=\frac{{M}_{2,\mathrm{AG}}}{{\Phi }_{v}^{2}}={\beta }_{\mathrm{AG}}{m}_{3}^{2}\]

On calcule alors \[{r}_{N}\][1], \[G\][2] et \[{\beta }_{\mathrm{AG}}\][4] à partir des moments d'ordre 1 à 6 de la distribution en \[{d}_{p}\], en principe connus à partir de la distribution expérimentale \[n\left({d}_{p}\right)\].

Si on pose comme temps de passage \[\tau =\frac{V}{{Q}_{S}}\] , également mesurable,

\[G=\frac{{m}_{3}}{3\tau {m}_{2}}\]
\[{\beta }_{\mathrm{AG}}=\frac{{m}_{6}-6G\tau {m}_{5}}{\tau {m}_{3}^{2}}\]

et

\[{r}_{N}=\frac{{\beta }_{\mathrm{AG}}{m}_{0}^{2}}{2}+\frac{{m}_{0}}{\tau }\]