Exercice : Calcul du rayon critique et du nombre d'entités constituant le germe
On donne les valeurs suivantes caractéristiques du sulfate de potassium (K2SO4) et de sa solution aqueuse à 25°C :
solubilité : \(C_s=120~\mathrm{g/L}\) ;
masse volumique de K2SO4 solide :\(\rho=2,66~\mathrm{g/cm}^3\) ;
masse molaire : \(M=174~\mathrm{g/mol}\) ;
tension de surface : \(\gamma=38~\mathrm{mJ/m}^2\).
Question
Déterminer \(\Theta\) et établir le diagramme \(i_{*}(S)\) (nombre d'unités constituant le germe critique en fonction du rapport de sursaturation), puis le diagramme \(r_{*}(S)\) (rayon du germe critique en fonction du rapport de sursaturation).
On prendra un rapport de sursaturation variant entre 1,1 et 5.
Solution
Rappel :
On rappelle les définitions suivantes :
\(\Theta = \frac {\gamma s_1} {k T}\)
avec \(s_1 = (36 \pi \nu_m^2)^{1/3}\)
On calcule d'abord le volume \(\nu_m\) occupé par un monomère à partir du volume molaire \(V_m\) du K2SO4 solide par la relation :
\(V_m = \frac {M} {\rho}\) ;
d'où : \(V_m = 0,174/2660 = 6,54 10^{-5}~\mathrm{m}^3/\mathrm{mol}\), \(\nu_m = \frac {V_m} {N_A}\) (nombre d'Avogadro\( N_A = 6,02 10^{23}\))
et finalement : \(\nu = 1,09 10^{-28}~\mathrm{m}^3\).
On en déduit : \(s_1= 1,10^{-18}~\mathrm{m}^2\) et \(\Theta = 10,17\) ; dans le calcul de \(\Theta\), on a utilisé \(k\), constante de Boltzman, elle même égale à \(R\) constante des gaz (\(R = 8,315~\mathrm{J/mol/K}\)) divisée par \(N_A\)
Enfin, il est facile de tracer \(i_{*}(S)\) à partir de la relation : \(i_{*}={\left(\frac {2 \Theta} {3 \ln S}\right)}^3\).
Puis \(r_{*}(S)\) en utilisant la relation : \(r_{*}={\left(\frac {3 i_{*} \nu_m} {4 \pi}\right)}^{1/3}\).
