Exercice : Détermination de l'étape limitante de la croissance pour la précipitation du SrMoO4 [Cristal Gemme]

Exercice : Détermination de l'étape limitante de la croissance pour la précipitation du SrMoO4

Exercice inspiré de l'article Cameirão, 2007^[1].

La précipitation du SrMoO₄ a été réalisée selon l'équation suivante :

\[{\mathrm{SrCl}}_{2}\left(\mathrm{aq.}\right)+{\mathrm{Na}}_{2}{\mathrm{MoO}}_{4}\left(\mathrm{aq.}\right)\to 2\mathrm{NaCl}\left(\mathrm{aq.}\right)+{\mathrm{SrMoO}}_{4}\left(s\right)\]

La concentration a été déterminée au cours du temps pendant la précipitation à partir des mesures de conductivité.

L'illustration suivante donne la forme des courbes obtenues au cours de la précipitation.

Évolution de la concentration en SrMoO4 au cours du temps

Les conditions opératoires sont : concentration initiale \[{C}_{0}=23,3{\mathrm{mol.m}}^{-3}\], \[N=350{\mathrm{tour.min}}^{-1}\] et \[{\epsilon }_{m}=2,2{\mathrm{x10}}^{-2}W/\mathrm{kg}\].

Question

Déterminez l'étape limitante de la croissance pour deux expériences à 4 et 100 mol.m^-3 et 350 rpm, sachant que les vitesses de croissance respectives calculées à partir des profils de concentration sont \[{10}^{-10}m/s\] et \[6{10}^{-8}m/s\].

Pour cela vous supposerez un ordre de croissance pour la vitesse d'intégration égal à 1.

La viscosité cinématique \[\nu \] sera prise égale à 10^-6 m²/s, et la taille moyenne des particules à 20 µm.

Solution

Le nombre de Damkhöler est défini par \[\mathrm{Da}=\frac{{k}_{I}{\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j-1}}{{k}_{d}\mathrm{'}}\]. Comme l'ordre de croissance pour la vitesse d'intégration égal à 1, \[\mathrm{Da}=\frac{{k}_{I}}{{k}_{d}\mathrm{'}}\].

La constante \(k_d\) peut être calculée grâce à la corrélation de Armenante et Kirwan donné dans le chapitre Hydrodynamiques de suspensions^[3] (partie Transfert de matière et thermique liquide-solide^[4]).

Nous rappelons que \[{k}_{d}\mathrm{'}=\frac{{\phi }_{S}M}{3{\phi }_{V}\rho }{k}_{d}\].

À partir de ces deux équations, il est possible de trouver une expression de \(C_I\) en fonction de \(G\), \(C\) et \(k_d\) :

\[G={k}_{d}\mathrm{'}\left(C-{C}_{I}\right)\]

\[G={k}_{I}\left({C}_{I}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)\]

On obtient

\[{C}_{I}=C-\frac{G}{{k}_{d}\mathrm{'}}\]

\[G={k}_{I}\left(C-\frac{G}{{k}_{d}\mathrm{'}}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)\]

par conséquent

\[{k}_{I}=\frac{G}{\left(C-\frac{G}{{k}_{d}\mathrm{'}}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}\]

d'où

\[\mathrm{Da}=\frac{G}{{k}_{d}\mathrm{'}\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}\frac{G}{{k}_{d}\mathrm{'}}\right)}\]

\(\epsilon\)	\(G\) (m/s)	\(C\) (mol/m³)	\(Da\)	\(\eta\)
2,2 x10^-2	6,00 x10^-8	100	1,3 x10^-1	0,885
	1,00 x10^-10	4	6,2 x 10^-3	0,994

\(k_d\) la constante de transfert est \(k_d = 1,16 \times 10^{-4}~m.s^{-1}\) ;

\(k'_d\) la constante de transfert corrigé est \(k'_d = 3,81 \times 10^{-8}~{m^{4}.mol^{-1}.s^{-1}}\).

L'efficacité est proche de 1, la croissance est donc limitée par l'intégration et non par la diffusion.