Exercice : Cristallisation du sulfate de cuivre pentahydraté calcul de la densité de population

Des cristaux de sulfate de cuivre pentahydraté ont été cristallisés dans un cristallisoir supposé parfaitement agité de 13 L avec un temps de séjour moyen de 1800s.

La distribution de taille des cristaux a été déterminée en sortie de cristallisoir par tamisage, avec une densité de suspension égale à 0,112 g/ml.

Les résultats sont reportés dans le tableau ci-dessous.

Le facteur de forme en volume et la masse volumique vraie des cristaux seront pris respectivement égaux à 1 et à 2286 kg/m3 (données issues de Tavare).

Distribution granulométrique obtenue après tamisage, avec une densité de suspension égale à 0,112 g/ml

L1

L2

L (µm)

∆L (µm)

Sample 1 (g)

1400

2000

1700

600

0,37

1000

1400

1200

400

1,58

850

1000

925

150

1,28

710

850

780

140

1,73

600

710

655

110

1,55

500

600

550

100

2,15

425

500

462,5

75

2,71

355

425

390

70

2,59

300

355

327,5

55

5,72

250

300

275

50

2,89

212

250

231

38

2,88

180

212

196

32

2,99

150

180

165

30

2,31

125

150

137,5

25

1,64

106

125

115,5

19

1,51

90

106

98

16

1,55

0

90

45

90

2,57

Question

Calculer les diamètres moyens en volume et en nombre.

Solution

Taille moyenne en volume

La taille moyenne en volume (ou en masse) \[d\left(4,3\right)\] peut être calculée par la relation suivante :

\[d\left(4,3\right)=\frac{\sum {m}_{i}\ast {L}_{i}}{\sum {m}_{i}}=\frac{\sum {w}_{i}\ast {L}_{i}}{\sum {w}_{i}}\]

(\(w_i\) étant la fraction massique de \(i\) dans la classe de taille moyenne \(L_i\))

diamètres moyens en volume

L (µm)

Sample 1 (g)

w1

w1*L (µm)

1700

0,37

0,010

16,544

1200

1,58

0,042

49,868

925

1,28

0,034

31,142

780

1,73

0,046

35,492

655

1,55

0,041

26,703

550

2,15

0,057

31,102

462,5

2,71

0,071

32,966

390

2,59

0,068

26,568

327,5

5,72

0,150

49,271

275

2,89

0,076

20,903

231

2,88

0,076

17,498

196

2,99

0,079

15,414

165

2,31

0,061

10,025

137,5

1,64

0,043

5,931

115,5

1,51

0,040

4,587

98

1,55

0,041

3,995

45

2,57

0,068

3,042

Application numérique

\[d\left(4,3\right)=381\mu m\]

Solution

Taille moyenne en nombre

La taille moyenne en nombre \[d\left(1,0\right)\] peut être calculée par la relation suivante :

\[d\left(1,0\right)=\frac{\sum {N}_{i}\ast {L}_{i}}{\sum {N}_{i}}\]

\[{N}_{i}\]étant le nombre de cristaux dans la classe \(i\) par unité de volume, \[{N}_{i}=\frac{{m}_{i}}{{\phi }_{v}\rho {\overline{{L}_{i}}}^{3}}\] avec \[\overline{{L}_{i}}\] comme taille moyenne de classe ;

et \(m_i\) étant la masse de cristaux dans la classe \(i\) par unité de volume (volume de suspension dans le cristallisoir), \(m_i = w_i * M_T\) où\(M_T\) est la densité de suspension.

diamètres moyens en nombre

L (µm)

Sample 1 (g)

N (nbre/L)

N* L (µm/L)

1700

0,37

9,70E+01

1,65E+05

1200

1,58

1,18E+03

1,41E+06

925

1,28

2,08E+03

1,93E+06

780

1,73

4,70E+03

3,66E+06

655

1,55

7,11E+03

4,66E+06

550

2,15

1,67E+04

9,16E+06

462,5

2,71

3,53E+04

1,63E+07

390

2,59

5,63E+04

2,19E+07

327,5

5,72

2,10E+05

6,87E+07

275

2,89

1,79E+05

4,92E+07

231

2,88

3,01E+05

6,96E+07

196

2,99

5,12E+05

1,00E+08

165

2,31

6,63E+05

1,09E+08

137,5

1,64

8,13E+05

1,12E+08

115,5

1,51

1,26E+06

1,46E+08

98

1,55

2,12E+06

2,08E+08

45

2,57

3,63E+07

1,64E+09

Application numérique

\[d\left(4,3\right)=60\mu m\]

Question

Calculer la densité de population en nombre.

Solution

La densité de population est définie comme \[n\left(L\right)=\frac{{dN}}{{dL}}={\mathrm{lim}}_{\Delta L\to 0}\frac{\Delta N}{\Delta L}\] soit \[{n}_{i}=\frac{{N}_{i}}{\Delta {L}_{i}}=\frac{{m}_{i}}{{\phi }_{v}\rho {\overline{{L}_{i}}}^{3}\Delta {L}_{i}}\], \[\Delta {L}_{i}\] étant la largeur de la classe i.

La densité de population en nombre en nombre/m/L est donnée dans le tableau suivant.

densité de population en nombre

L (µm)

∆L (µm)

Sample 1 (g)

n (L) nbre/L/m

1700

600

0,37

1,62E+05

1200

400

1,58

2,95E+06

925

150

1,28

1,39E+07

780

140

1,73

3,36E+07

655

110

1,55

6,46E+07

550

100

2,15

1,67E+08

462,5

75

2,71

4,71E+08

390

70

2,59

8,04E+08

327,5

55

5,72

3,82E+09

275

50

2,89

3,58E+09

231

38

2,88

7,92E+09

196

32

2,99

1,60E+10

165

30

2,31

2,21E+10

137,5

25

1,64

3,25E+10

115,5

19

1,51

6,65E+10

98

16

1,55

1,33E+11

45

90

2,57

4,04E+11