Exercice : Évolution de l'influence de la taille de particule et de la puissance dissipée sur le critère NAG

Question

Partant des deux formules pour les agglomérations rapides[1] ou lentes[2], essayez de discuter l'influence de la taille de particule \[{d}_{p}\] et de la puissance dissipée \[{\varepsilon }_{M}\][3] sur \[{N}_{\mathrm{AG}}\][4] dans les régimes de collision et consolidation Browniens (particules non chargées) et laminaire.

On montrera en particulier, que le régime Brownien est favorable à l'augmentation du volume des particules par agglomération[5].

Indice

Utiliser les expressions de l'efficacité d'agrégation[7] \[\alpha \][7] (voir la partie de cours sur l'efficacité de collision[8]), et de \[{f}_{\mathrm{col}}\][9], \[{k}_{\mathrm{col}}\][10], \[{k}_{r}\][11] (les tableaux donnant les constantes et fonction de collision[12] et donnant les vitesses de désagrégation et de cristallisation[13]).

Solution

Partons des expressions de \[{N}_{\mathrm{AG}}\][4] pour deux particules de même taille \[{d}_{p}\].

Pour les croissances cristallines rapides, on a :
\[{N}_{\mathrm{AG}}=\frac{\alpha {k}_{\mathrm{col}}{f}_{\mathrm{col}}{C}_{\mathrm{A0}}{M}_{S}}{3G{\rho }_{S}{d}_{p}^{2}}\]

Remplaçons \[{k}_{\mathrm{col}}\][10] et \[{f}_{\mathrm{col}}\][9] par leurs expressions ; en régime Brownien, \[{k}_{\mathrm{col}}\][10] et \[{f}_{\mathrm{col}}\][9] = 4 sont indépendants de \[{d}_{p}\] et de \[{\varepsilon }_{M}\][3] :

\[{N}_{AG}=\frac{4\alpha {k}_{\mathrm{col}}{C}_{\mathrm{A0}}{M}_{S}}{{\rho }_{S}G{d}_{p}^{2}}\]

et

\[{N}_{AG}\approx {d}_{p}^{-2}{\varepsilon }_{M}^{0}\]

\[{N}_{\mathrm{AG}}\][4] diminue avec l'augmentation de la taille de particule \[{d}_{p}\]. Autrement dit, l'augmentation de \[{d}_{p}\] favorise la croissance au détriment de l'agglomération. La puissance dissipée n'a aucune influence.

En régime laminaire, il faut tenir compte des expressions de \[\alpha \][7] en fonction de \[{\varepsilon }_{M}\][3] (tableau donnant l'influence de la puissance dissipée[14]) et \[{d}_{p}\] (tableau donnant l'influence de la taille de particule[15], \[{k}_{\mathrm{col}}\][10] et \[{f}_{\mathrm{col}}\][9] (tableau donnant les constante et fonction de collision[16]).

\[{N}_{AG} \approx {d}_{p}^{0,4}{\varepsilon }_{M}^{0,4}\]

\[{N}_{\mathrm{AG}}\][4] , et donc la tendance à l'accroissement préférentiel des tailles des particules par l'agglomération augmentent avec \[{d}_{p}\] ou \[{\varepsilon }_{M}\][3].

Pour les croissances cristallines lentes :

En régime Brownien :

\[{N}_{AG}=\frac{4\alpha {k}_{\mathrm{col}}{C}_{\mathrm{A0}}{M}_{S}}{{\rho }_{S}G{d}_{p}^{2}}\]

et par conséquent,

\[{N}_{AG} \approx {d}_{p}^{-2}{\varepsilon }_{M}^{0}\]

Les conclusions sont identiques à celles pour les agglomérations rapides.

En régime laminaire :

\[{N}_{AG}=\frac{\alpha {k}_{\mathrm{col}}{f}_{\mathrm{col}}{C}_{\mathrm{A0}}{M}_{S}}{{3Kk}_{r}{\rho }_{S}{d}_{p}^{3}}\]

En tenant compte des expressions de \[\alpha \][7] en fonction de \[{\varepsilon }_{M}\][3] (tableau donnant l'influence de la puissance dissipée[17]) et \[{d}_{p}\] (tableau donnant l'influence de la taille de particule[18], \[{k}_{\mathrm{col}}\][10] et \[{f}_{\mathrm{col}}\][9] (tableau donnant les constante et fonction de collision[19]), on obtient

\[{N}_{AG} \approx {d}_{p}^{-1,6}{\varepsilon }_{M}^{-0,6}\]

L'influence de \[{d}_{p}\] et \[{\varepsilon }_{M}\][3] est ici inversée par rapport au cas des croissances cristallines rapides dans le même régime d'écoulement : plus ces variables augmentent, plus l'accroissement de taille des particules est imputable à la croissance cristalline au détriment de l'agglomération.