Exercice : Retour au bilan de population en fonction de la taille dp

Question

Retrouvez l'expression du bilan de population en fonction, de la variable de taille \[{d}_{p}\] à partir du bilan de population précédent et des relations entre grandeurs en-tête de la partie de cours traitant sur le Bilan de population[1].

En faisant \[{\beta }_{\mathrm{AG}}=0\], vérifiez que vous retrouverez l'expression classique du bilan de population.

Indice

Se servir des formules reliant \[n\] et \[{n}_{v}\], \[G\] et \[{G}_{v}\], \[{v}_{p}\] et \[{d}_{p}\].

Solution

Partons du bilan de population exprimé en fonction de la variable volume de particule[2] \[{v}_{p}\][2] :

\[\begin{array}{c}\frac{1}{V}\frac{\partial \left({n}_{v}V\right)}{\partial t}+\frac{\partial \left({G}_{v}{n}_{v}\right)}{\partial {v}_{p}}+\frac{\left({Q}_{S}{n}_{\mathrm{vS}}-{Q}_{E}{n}_{\mathrm{vE}}\right)}{V}-{r}_{N}{\delta }_{v}\left({v}_{p}-{v}_{\mathrm{pc}}\right)=\\ \frac{1}{2}{\int }_{0}^{{v}_{p}}{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p1}}\right){n}_{v}\left({v}_{p}-{v}_{\mathrm{p1}}\right){{dv}}_{\mathrm{p1}}-{n}_{v}\left({v}_{p}\right){\int }_{0}^{\infty }{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left(v{\textrm{'}}_{p}\right){dv}{\textrm{'}}_{p}\end{array}\]

Puisque

\[{\delta }_{v}\left({v}_{p}-{v}_{\mathrm{pc}}\right){{dv}}_{p}=\delta \left({d}_{p}-{d}_{\mathrm{pc}}\right){{dd}}_{p}\]

on remplace \[{n}_{v}\] , \[{n}_{\mathrm{vS}}\] , \[{n}_{\mathrm{vE}}\] , \[{G}_{v}\] , \[{v}_{p}\] , \[{\delta }_{v}\] par les fonctions correspondantes de la variable taille \[{d}_{p}\] , et on remplace \[{v}_{{p}_{1}}\] par \[{\phi }_{v}{d}_{p}^{3}\] et \[{v}_{{p}_{2}}\] par \[{\phi }_{v}\left({d}_{p}^{3}–{d}_{\mathrm{p1}}^{3}\right)\] :

\[\begin{array}{c}\frac{1}{3{\Phi }_{v}{d}_{p}^{2}V}\frac{\partial \left(nV\right)}{\partial t}+\frac{\partial \left(Gn\right)}{3{\Phi }_{v}{d}_{p}^{2}\partial {d}_{p}}+\frac{\left({Q}_{S}{n}_{S}-{Q}_{E}{n}_{E}\right)}{3{\Phi }_{v}{d}_{p}^{2}V}-{r}_{N} \frac{\delta\left({d}_{p}-{d}_{\mathrm{pc}}\right)}{3{\Phi }_{v}{d}_{p}^{2}}=\\ \frac{1}{2}{\int }_{0}^{{d}_{p}}{\beta }_{\mathrm{AG}}\frac{n\left({d}_{\mathrm{p1}}\right)n\left({\left({d}_{p}^{3}-{d}_{\mathrm{p1}}^{3}\right)}^{1/3}\right){{dd}}_{\mathrm{p1}}}{3{\Phi }_{v}{\left({d}_{p}^{3}-{d}_{\mathrm{p1}}^{3}\right)}^{2/3}}-n\left({d}_{p}\right)\frac{{\int }_{0}^{\infty }{\beta }_{\mathrm{AG}}n\left({d}_{p}\mathrm{'}\right){dL}\mathrm{'}}{3{\Phi }_{v}{d}_{p}^{2}}\end{array}\]

En multipliant les 2 membres par \[3{\phi }_{v}{d}_{p}^{2}\], on obtient :

\[\begin{array}{c}\frac{1}{V}\frac{\partial \left(nV\right)}{\partial t}+\frac{\partial \left(Gn\right)}{\partial {d}_{p}}+\frac{\left({Q}_{S}{n}_{S}-{Q}_{E}{n}_{E}\right)}{V}-{r}_{N}\delta \left({d}_{p}-{d}_{\mathrm{pc}}\right)=\\ \frac{{d}_{p}^{2}}{2}{\int }_{0}^{{d}_{p}}{\beta }_{\mathrm{AG}}\frac{n\left({d}_{\mathrm{p1}}\right)n\left({\left({d}_{p}^{3}-{d}_{\mathrm{p1}}^{3}\right)}^{1/3}\right){{dd}}_{\mathrm{p1}}}{{\left({d}_{p}^{3}-{d}_{\mathrm{p1}}^{3}\right)}^{2/3}}-n\left({d}_{p}\right){\int }_{0}^{\infty }{\beta }_{\mathrm{AG}}n\left({d}_{p}\mathrm{'}\right){{dd}}_{p}\mathrm{'}\end{array}\]

Si on annule \[{\beta }_{\mathrm{AG}}\][3], on retrouve le très classique bilan de population :

\[\frac{1}{V}\frac{\partial \left(nV\right)}{\partial t}+\frac{\partial \left(Gn\right)}{\partial {d}_{p}}+\frac{\left({Q}_{S}{n}_{S}-{Q}_{E}{n}_{\mathrm{vE}}\right)}{V}-{r}_{N}\delta \left({d}_{p}-{d}_{\mathrm{pc}}\right)=0\]