Définition d'un nombre sans dimensions

Lorsqu'agglomération et croissance cristalline coexistent, l'une ou l'autre peut devenir prédominante selon :

Soit une particule de taille \[{d}_{\mathrm{pi}}\], de facteur de forme \[{\phi }_{v}\], de vitesse de croissance \[G\] et de vitesse d'agglomération \[{R}_{\mathrm{AG}}\] avec une autre particule de taille quelconque \[{d}_{\mathrm{pj.}}\]. Il y a \[N\] particules de taille \[{d}_{\mathrm{pi}}\] par unité de volume de suspension. Comparons le flux d'accroissement de volume cristallin par croissance \[{F}_{G}\] (ou de masse) pour une particule de taille \[{d}_{\mathrm{pi}}\] :

\[{F}_{G}=3{\phi }_{V}{d}_{\mathrm{pi}}^{2}GN\left({d}_{\mathrm{pi}}\right)\]

et le flux d'accroissement de volume cristallin par agglomération \[{F}_{\mathrm{AG}}\] pour la même particule de taille \[{d}_{\mathrm{pi}}\] :

\[\begin{array}{rcl}{F}_{\mathrm{AG}}&=&{\phi }_{V}{d}_{\mathrm{pj}}^{3}{R}_{\mathrm{AG}}\left(G,P,{d}_{\mathrm{pi}},{d}_{\mathrm{pj}}\right)\\ &=&{\phi }_{V}{d}_{\mathrm{pj}}^{3}{\beta }_{\mathrm{AG}}\left(G,P,{d}_{\mathrm{pi}},{d}_{\mathrm{pj}}\right)N\left({d}_{\mathrm{pi}}\right)N\left({d}_{\mathrm{pj}}\right) \end{array}\]

Le rapport sans dimensions des flux d'agglomération et de croissance \[{N}_{\mathrm{AG}}\] permet de les comparer :

\[{N}_{\mathrm{AG}}=\frac{{F}_{\mathrm{AG}}}{{F}_{G}}=\frac{{d}_{\mathrm{pj}}^{3}{\beta }_{\mathrm{AG}}N\left({d}_{\mathrm{pj}}\right)}{{3d}_{\mathrm{pi}}^{2}G}\]

Pour avoir une idée de ce nombre \[{N}_{\mathrm{AG}}\], prenons deux particules de tailles égales \[{d}_{p}\], tenons compte des expressions de \[{\beta }_{\mathrm{AG}}\] et approximons \[N\left({d}_{p}\right)\] en fonction de la concentration initiale de soluté \[{C}_{\mathrm{A0}}\] par :

\[N\left({d}_{p}\right)=\frac{{C}_{\mathrm{A0}}{M}_{S}}{{\rho }_{S}{d}_{p}^{3}}\]

Pour les agglomérations rapides

\[{N}_{\mathrm{AG}}=\frac{\alpha {k}_{\mathrm{col}}{f}_{\mathrm{col}}{C}_{\mathrm{A0}}{M}_{S}}{3G{\rho }_{S}{d}_{p}^{2}}\]

Logiquement, lorsque \[G\] croît, \[{N}_{\mathrm{AG}}\] diminue et l'agglomération tend à devenir négligeable.

Pour les agglomérations lentes en régime Brownien :

\[{N}_{\mathrm{AG}}=\frac{4\alpha {k}_{\mathrm{col}}{C}_{\mathrm{A0}}{M}_{S}}{{\rho }_{S}G{d}_{p}^{2}}\]

Et en régime laminaire :

\[{N}_{\mathrm{AG}}=\frac{\alpha {k}_{\mathrm{col}}{f}_{\mathrm{col}}{C}_{\mathrm{A0}}{M}_{S}}{{3Kk}_{r}{\rho }_{S}{d}_{p}^{3}}\]

Ici, \[{N}_{\mathrm{AG}}\] est indépendant de la vitesse de croissance cristalline. Il convient de se souvenir de la dépendance de \[{f}_{\mathrm{col}}\], \[{k}_{\mathrm{col}}\], \[{k}_{r}\] par rapport à la puissance dissipée \[{\varepsilon }_{M}\] et à la taille \[{d}_{p}\].