Définition d'un nombre sans dimensions

Lorsqu'agglomération et croissance cristalline coexistent, l'une ou l'autre peut devenir prédominante selon :

Soit une particule de taille {d}_{\mathrm{pi}}, de facteur de forme {\phi }_{v}, de vitesse de croissance G et de vitesse d'agglomération {R}_{\mathrm{AG}} avec une autre particule de taille quelconque {d}_{\mathrm{pj.}}. Il y a N particules de taille {d}_{\mathrm{pi}} par unité de volume de suspension. Comparons le flux d'accroissement de volume cristallin par croissance {F}_{G} (ou de masse) pour une particule de taille {d}_{\mathrm{pi}} :

{F}_{G}=3{\phi }_{V}{d}_{\mathrm{pi}}^{2}GN\left({d}_{\mathrm{pi}}\right)

et le flux d'accroissement de volume cristallin par agglomération {F}_{\mathrm{AG}} pour la même particule de taille {d}_{\mathrm{pi}} :

\begin{array}{rcl}{F}_{\mathrm{AG}}&=&{\phi }_{V}{d}_{\mathrm{pj}}^{3}{R}_{\mathrm{AG}}\left(G,P,{d}_{\mathrm{pi}},{d}_{\mathrm{pj}}\right)\\ &=&{\phi }_{V}{d}_{\mathrm{pj}}^{3}{\beta }_{\mathrm{AG}}\left(G,P,{d}_{\mathrm{pi}},{d}_{\mathrm{pj}}\right)N\left({d}_{\mathrm{pi}}\right)N\left({d}_{\mathrm{pj}}\right) \end{array}

Le rapport sans dimensions des flux d'agglomération et de croissance {N}_{\mathrm{AG}} permet de les comparer :

{N}_{\mathrm{AG}}=\frac{{F}_{\mathrm{AG}}}{{F}_{G}}=\frac{{d}_{\mathrm{pj}}^{3}{\beta }_{\mathrm{AG}}N\left({d}_{\mathrm{pj}}\right)}{{3d}_{\mathrm{pi}}^{2}G}

Pour avoir une idée de ce nombre {N}_{\mathrm{AG}}, prenons deux particules de tailles égales {d}_{p}, tenons compte des expressions de {\beta }_{\mathrm{AG}} et approximons N\left({d}_{p}\right) en fonction de la concentration initiale de soluté {C}_{\mathrm{A0}} par :

N\left({d}_{p}\right)=\frac{{C}_{\mathrm{A0}}{M}_{S}}{{\rho }_{S}{d}_{p}^{3}}

Pour les agglomérations rapides

{N}_{\mathrm{AG}}=\frac{\alpha {k}_{\mathrm{col}}{f}_{\mathrm{col}}{C}_{\mathrm{A0}}{M}_{S}}{3G{\rho }_{S}{d}_{p}^{2}}

Logiquement, lorsque G croît, {N}_{\mathrm{AG}} diminue et l'agglomération tend à devenir négligeable.

Pour les agglomérations lentes en régime Brownien :

{N}_{\mathrm{AG}}=\frac{4\alpha {k}_{\mathrm{col}}{C}_{\mathrm{A0}}{M}_{S}}{{\rho }_{S}G{d}_{p}^{2}}

Et en régime laminaire :

{N}_{\mathrm{AG}}=\frac{\alpha {k}_{\mathrm{col}}{f}_{\mathrm{col}}{C}_{\mathrm{A0}}{M}_{S}}{{3Kk}_{r}{\rho }_{S}{d}_{p}^{3}}

Ici, {N}_{\mathrm{AG}} est indépendant de la vitesse de croissance cristalline. Il convient de se souvenir de la dépendance de {f}_{\mathrm{col}}, {k}_{\mathrm{col}}, {k}_{r} par rapport à la puissance dissipée {\varepsilon }_{M} et à la taille {d}_{p}.