Transfert de matière autour d'un cristal en suspension

Dans un milieu turbulent, avant d'atteindre la surface du solide, le flux d’un soluté se déposant à la surface de particules solides doit traverser la couche limite qui l’entoure (figure ci-dessous). Le flux molaire diffusionnel de transfert de soluté {F}_{m} autour d’une particule de taille {d}_{p} est proportionnel au produit d'un coefficient de transfert de matière {k}_{d} à travers la couche limite et du gradient externe de concentration entre le cœur du liquide C et la surface solide {C}_{I} :

{F}_{m}={k}_{d}\left(C–{C}_{I}\right){A}_{p}
Transfert de matière autour d'une particule solide d'aire Ap
Transfert de matière autour d'une particule solide d'aire ApInformations

{k}_{d} est donné par des corrélations ; citons les trois formules les plus fréquemment utilisées dans le cas des solides en suspension agitée et qui donnent généralement des valeurs très voisines.

Levins et Glastonbury (1972) pour les cuves agitées :

\mathrm{Sh}={k}_{d}\frac{{d}_{p}}{{D}_{m}}=2+0,47{\left({\epsilon }_{M}\frac{{d}_{p}^{4}}{{\nu }^{3}}\right)}^{0,207}{\left(\frac{D}{{D}_{T}}\right)}^{0,17}{\left(\frac{\nu }{{D}_{m}}\right)}^{0,36}

Herndl et Mersmann (1981) pour les cuves agitées et les tubes :

\mathrm{Sh}={k}_{d}\frac{{d}_{p}}{{D}_{m}}=2+0,224{\mathrm{Re}}^{0,067}{\left({\epsilon }_{M}{d}_{p}^{4}/{\nu }^{3}\right)}^{0,222}{\left(\frac{\nu }{{D}_{m}}\right)}^{0,33}

La formule d’ Armenante et Kirwan (1989) est tout spécialement représentative du comportement des micro-particules de moins de 30 µm :

\mathrm{Sh}={k}_{d}\frac{{d}_{p}}{{D}_{m}}=2+0,52{\left({d}_{p}^{4/3}\frac{{\epsilon }_{M}^{1/3}}{\nu }\right)}^{0,52}{\left(\frac{\nu }{{D}_{m}}\right)}^{0,33}

{\epsilon }_{M} s’exprime comme décrit plus haut. En première approximation, {k}_{d} varie comme {\epsilon }_{M}^{0,2} et comme (d’après Mersmann et coll., 1998) :

{d}_{p}^{–1}\mathrm{si}{\mathrm{Re}}_{p}<1\mathrm{;}{d}_{p}^{–1/2}\mathrm{si}1000>{\mathrm{Re}}_{p}>10\mathrm{;}{d}_{p}^{–0,2}\mathrm{si}{\mathrm{Re}}_{p}>100000

Remarque

Remarquons que \mathrm{Sh}\to 2 si la turbulence se réduit. En particulier, si la particule suspendue est petite, d'une taille inférieure à l'échelle de Kolmogoroff {l}_{K}, elle subit un régime d'écoulement laminaire. Comme :

{\left(\frac{{d}_{p}}{{l}_{K}}\right)}^{4}={\epsilon }_{M}\frac{{d}_{p}^{4}}{{\nu }^{3}}

est faible, donc \mathrm{Sh}\approx 2 d'après toutes les corrélations ci-dessus. On peut aussi argumenter que la vitesse de glissement relative d'une petite particule par rapport au fluide est faible, ce qui conduit à la même conclusion.

{k}_{d} dépend de la température selon une loi de type Arrhenius, avec une énergie d'activation apparente due à l'influence de la diffusivité et de l'ordre de 8 \textrm{ à }20\mathrm{kJ}\/\mathrm{mol}.