Noyau d'agglomération constant

Un premier cas fréquemment envisagé est que {\beta }_{\mathrm{AG}} soit indépendant des tailles ou volumes. La dépendance complexe de {\beta }_{\mathrm{AG}} en fonction des tailles des particules-mères et de la puissance dissipée permet souvent cette première approximation. Pour simplifier les écritures, il n'est pas fait mention dans ce paragraphe des variables d'espace x,y,z.

La solution consiste alors à passer par les moments en volume {m}_{\mathrm{vk}} d'ordre k de la distribution {n}_{v}\left({v}_{p},t\right) :

{m}_{\mathrm{vk}}={\int }_{0}^{\infty }{n}_{v}\left({v}_{p}\right){v}_{p}^{k}{{dv}}_{p}

Les moments d'ordre k de {n}_{v}\left({v}_{p},t\right) sont les moments en taille d'ordre 3k de n\left({d}_{p},t\right) à {\phi }_{v}^{k} près :

{m}_{3k}={\int }_{0}^{\infty }n\left({d}_{p}\right){d}_{p}^{3k}{{dd}}_{p}=\frac{1}{{\Phi }_{v}^{k}}{\int }_{0}^{\infty }{n}_{v}\left({v}_{p}\right){v}_{p}^{k}{{dv}}_{p}=\frac{{m}_{\mathrm{vk}}}{{\Phi }_{v}^{k}}

Soit {M}_{k,\mathrm{AG}} le moment d'ordre k du second membre du bilan de population ci-dessus en fonction de la variable {v}_{p} :

\begin{array}{rcl} {M}_{k,\mathrm{AG}}&=&{\beta }_{\mathrm{AG}}{\int }_{0}^{\infty }\frac{1}{2}\left[{\int }_{0}^{{v}_{p}}{n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p1}}\right){n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p2}}\right) {{dv}}_{\mathrm{p1}}\right. \\ &-& \left. {n}_{v}\left({v}_{p}\right) {\int }_{0}^{\infty }{n}_{v}\left(v{\textrm{'}}_{p}\right){dv} {\textrm{'}}_{p} \right] {v}_{p}^{k}{{dv}}_{p}\end{array}

En se souvenant que

{v}_{p}={v}_{{p}_{1}}+{v}_{{p}_{2}}

on obtient :

\begin{array}{rcl}{M}_{k,\mathrm{AG}}&=&\frac{{\beta }_{\mathrm{AG}}}{2}{\int }_{0}^{\infty }{\int }_{0}^{\infty }{\left({v}_{\mathrm{p1}}+{v}_{\mathrm{p2}}\right)}^{k}{n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p1}}\right){n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p2}}\right){{dv}}_{\mathrm{p1}}{{dv}}_{\mathrm{p2}}\\ &-&{\beta }_{\mathrm{AG}}{\int }_{0}^{\infty }{v}_{p}^{k}{n}_{v}\left({v}_{p}\right){{dv}}_{p}{\int }_{0}^{\infty }{n}_{v}\left(v{\textrm{'}}_{p}\right){dv}{\textrm{'}}_{p}\end{array}

Le calcul de cette double intégrale donne pour k=0

{M}_{0,\mathrm{AG}}=–{\beta }_{\mathrm{AG}}\frac{{m}_{\mathrm{v0}}^{2}}{2}=–{\beta }_{\mathrm{AG}}\frac{{m}_{0}^{2}}{2}

et, pour k=1 et k=2 respectivement :

{M}_{1,\mathrm{AG}}=0;{M}_{2,\mathrm{AG}}={\beta }_{\mathrm{AG}}{m}_{\mathrm{v1}}^{2}={\beta }_{\mathrm{AG}}{m}_{3}^{2}{\phi }_{v}^{2}

Il ne faut pas s'étonner de trouver {M}_{1,\mathrm{AG}} nul. En effet, le moment d'ordre 1 représente la variation du volume total de solide lors de l'agglomération, qui est nulle.