Noyau d'agglomération constant

Un premier cas fréquemment envisagé est que \[{\beta }_{\mathrm{AG}}\] soit indépendant des tailles ou volumes. La dépendance complexe de \[{\beta }_{\mathrm{AG}}\] en fonction des tailles des particules-mères et de la puissance dissipée permet souvent cette première approximation. Pour simplifier les écritures, il n'est pas fait mention dans ce paragraphe des variables d'espace \[x,y,z\].

La solution consiste alors à passer par les moments en volume \[{m}_{\mathrm{vk}}\] d'ordre \[k\] de la distribution \[{n}_{v}\left({v}_{p},t\right)\] :

\[{m}_{\mathrm{vk}}={\int }_{0}^{\infty }{n}_{v}\left({v}_{p}\right){v}_{p}^{k}{{dv}}_{p}\]

Les moments d'ordre \[k\] de \[{n}_{v}\left({v}_{p},t\right)\] sont les moments en taille d'ordre \[3k\] de \[n\left({d}_{p},t\right)\] à \[{\phi }_{v}^{k}\] près :

\[{m}_{3k}={\int }_{0}^{\infty }n\left({d}_{p}\right){d}_{p}^{3k}{{dd}}_{p}=\frac{1}{{\Phi }_{v}^{k}}{\int }_{0}^{\infty }{n}_{v}\left({v}_{p}\right){v}_{p}^{k}{{dv}}_{p}=\frac{{m}_{\mathrm{vk}}}{{\Phi }_{v}^{k}}\]

Soit \[{M}_{k,\mathrm{AG}}\] le moment d'ordre \[k\] du second membre du bilan de population ci-dessus en fonction de la variable \[{v}_{p}\] :

\[\begin{array}{rcl} {M}_{k,\mathrm{AG}}&=&{\beta }_{\mathrm{AG}}{\int }_{0}^{\infty }\frac{1}{2}\left[{\int }_{0}^{{v}_{p}}{n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p1}}\right){n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p2}}\right) {{dv}}_{\mathrm{p1}}\right. \\ &-& \left. {n}_{v}\left({v}_{p}\right) {\int }_{0}^{\infty }{n}_{v}\left(v{\textrm{'}}_{p}\right){dv} {\textrm{'}}_{p} \right] {v}_{p}^{k}{{dv}}_{p}\end{array} \]

En se souvenant que

\[{v}_{p}={v}_{{p}_{1}}+{v}_{{p}_{2}}\]

on obtient :

\[\begin{array}{rcl}{M}_{k,\mathrm{AG}}&=&\frac{{\beta }_{\mathrm{AG}}}{2}{\int }_{0}^{\infty }{\int }_{0}^{\infty }{\left({v}_{\mathrm{p1}}+{v}_{\mathrm{p2}}\right)}^{k}{n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p1}}\right){n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p2}}\right){{dv}}_{\mathrm{p1}}{{dv}}_{\mathrm{p2}}\\ &-&{\beta }_{\mathrm{AG}}{\int }_{0}^{\infty }{v}_{p}^{k}{n}_{v}\left({v}_{p}\right){{dv}}_{p}{\int }_{0}^{\infty }{n}_{v}\left(v{\textrm{'}}_{p}\right){dv}{\textrm{'}}_{p}\end{array}\]

Le calcul de cette double intégrale donne pour \[k=0\]

\[{M}_{0,\mathrm{AG}}=–{\beta }_{\mathrm{AG}}\frac{{m}_{\mathrm{v0}}^{2}}{2}=–{\beta }_{\mathrm{AG}}\frac{{m}_{0}^{2}}{2}\]

et, pour \[k=1\] et \[k=2\] respectivement :

\[{M}_{1,\mathrm{AG}}=0;{M}_{2,\mathrm{AG}}={\beta }_{\mathrm{AG}}{m}_{\mathrm{v1}}^{2}={\beta }_{\mathrm{AG}}{m}_{3}^{2}{\phi }_{v}^{2}\]

Il ne faut pas s'étonner de trouver \[{M}_{1,\mathrm{AG}}\] nul. En effet, le moment d'ordre 1 représente la variation du volume total de solide lors de l'agglomération, qui est nulle.