Définition du nombre de Damkhöler

Afin de déterminer l'étape limitante de la croissance, un facteur d'efficacité \eta a été défini comme le rapport de la vitesse de croissance réelle et de la vitesse maximale en l'absence de limitation diffusionnelle :

\eta =\frac{{{k}_{I}\left({C}_{I}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j}}{{k}_{I}{\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j}}
G={k}_{d}\mathrm{'}\left(C-{C}_{I}\right)={k}_{I}{\left({C}_{I}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j}

avec {k}_{d}\mathrm{'}=\frac{{\phi }_{S}M}{3{\phi }_{V}\rho }{k}_{d}

Complément

Le flux molaire de soluté, dans la couche de diffusion, est donné par :

\frac{{R}_{G}A}{M}={k}_{d}A\left(C-{C}_{I}\right)

soit, comme {R}_{G}=\frac{3{\phi }_{V}\rho }{{\phi }_{S}}G,

\frac{3{\phi }_{V}\rho G}{M{\phi }_{S}}={k}_{d}\left(C-{C}_{I}\right)

soit

G={k}_{d}\frac{M{\phi }_{S}}{3{\phi }_{V}\rho }\left(C-{C}_{I}\right)

et finalement

{k}_{d}\mathrm{'}=\frac{{\phi }_{S}M}{3{\phi }_{V}\rho }{k}_{d}
\left(C-{C}_{I}\right)=\frac{{k}_{I}}{{k}_{d}\mathrm{'}}{\left({C}_{I}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j}

soit

\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}+{C}^{\mathrm{eq}}-{C}_{I}\right)=\frac{{k}_{I}}{{k}_{d}\mathrm{'}}{\left({C}_{I}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j-1}\left({C}_{I}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)

On définit le nombre de Damkhöler Da comme :

\mathrm{Da}=\frac{{k}_{I}{\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j-1}}{{k}_{d}\mathrm{'}}

d'où

\frac{\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}{\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}+\frac{\left({C}^{\mathrm{eq}}-{C}_{I}\right)}{\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}=\mathrm{Da}\frac{{\left({C}_{I}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j}}{{\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j}}

En tenant compte de l'efficacité, on obtient de l'équation Garside :

\mathrm{Da}\eta +{\eta }^{\left(1/j\right)}-1=0

La résolution de cette équation permet de calculer la concentration à l'interface de la couche de diffusion et de la couche d'adsorption {C}_{I} connaissant C et {C}^{\mathrm{eq}}.