Définition du nombre de Damkhöler

Afin de déterminer l'étape limitante de la croissance, un facteur d'efficacité \[\eta \] a été défini comme le rapport de la vitesse de croissance réelle et de la vitesse maximale en l'absence de limitation diffusionnelle :

\[\eta =\frac{{{k}_{I}\left({C}_{I}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j}}{{k}_{I}{\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j}}\]
\[G={k}_{d}\mathrm{'}\left(C-{C}_{I}\right)={k}_{I}{\left({C}_{I}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j}\]

avec \[{k}_{d}\mathrm{'}=\frac{{\phi }_{S}M}{3{\phi }_{V}\rho }{k}_{d}\]

Complément

Le flux molaire de soluté, dans la couche de diffusion, est donné par :

\[\frac{{R}_{G}A}{M}={k}_{d}A\left(C-{C}_{I}\right)\]

soit, comme \[{R}_{G}=\frac{3{\phi }_{V}\rho }{{\phi }_{S}}G\],

\[\frac{3{\phi }_{V}\rho G}{M{\phi }_{S}}={k}_{d}\left(C-{C}_{I}\right)\]

soit

\[G={k}_{d}\frac{M{\phi }_{S}}{3{\phi }_{V}\rho }\left(C-{C}_{I}\right)\]

et finalement

\[{k}_{d}\mathrm{'}=\frac{{\phi }_{S}M}{3{\phi }_{V}\rho }{k}_{d}\]
\[\left(C-{C}_{I}\right)=\frac{{k}_{I}}{{k}_{d}\mathrm{'}}{\left({C}_{I}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j}\]

soit

\[\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}+{C}^{\mathrm{eq}}-{C}_{I}\right)=\frac{{k}_{I}}{{k}_{d}\mathrm{'}}{\left({C}_{I}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j-1}\left({C}_{I}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)\]

On définit le nombre de Damkhöler \(Da\) comme :

\[\mathrm{Da}=\frac{{k}_{I}{\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j-1}}{{k}_{d}\mathrm{'}}\]

d'où

\[\frac{\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}{\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}+\frac{\left({C}^{\mathrm{eq}}-{C}_{I}\right)}{\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}=\mathrm{Da}\frac{{\left({C}_{I}-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j}}{{\left(C-{C}^{\mathrm{eq}}\right)}^{j}}\]

En tenant compte de l'efficacité, on obtient de l'équation Garside :

\[\mathrm{Da}\eta +{\eta }^{\left(1/j\right)}-1=0\]

La résolution de cette équation permet de calculer la concentration à l'interface de la couche de diffusion et de la couche d'adsorption \[{C}_{I}\] connaissant \[C\] et \[{C}^{\mathrm{eq}}\].