Collision Brownienne

Nous allons calculer la constante cinétique {k}_{0} quand la cause de la collision est le mouvement Brownien : on considère une particule notée i (rayon {R}_{i}) , supposée immobile, et on calcule le flux de particules j (rayon {R}_{j}) pouvant entrer en collision avec i. La symétrie du problème est sphérique. Ce flux obéit à l'équation de continuité (à l'état stationnaire) :

\stackrel{\to }{\nabla \mathrm{.}}\stackrel{\to }{{j}_{j}}=0

ou

{J}_{j}={4\pi r}^{2}{j}_{j}=\mathrm{Cte}

avec

{j}_{j}=-{D}_{j}\frac{\partial {n}_{j}}{\partial r}

Les conditions aux limites sont :

{n}_{j}=0\qquad \textrm{ pour } \quad r={R}_{ij}={R}_{i}+{R}_{j}
{n}_{j}={N}_{j} \qquad \textrm{ pour } \quad r\to \infty

N_j est la concentration "moyenne" en particules j. {n}_{j}est la concentration "locale" en particules j à la distance r de la particule i.

La solution de l'équation de continuité est :

{n}_{j}=\frac{{J}_{j}}{{4\pi D}_{j}}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{{R}_{ij}}\right)

et

{J}_{j}=-{4\pi D}_{j}{R}_{ij}{N}_{j}

L'indiscernabilité ou le comportement symétrique de i et j conduit à :

\frac{{{dN}}_{i+j}}{{dt}}=-{J}_{ij}=4\pi\left({D}_{i}+{D}_{j}\right)\left({R}_{i}+{R}_{j}\right){N}_{i}{N}_{j}

Le noyau d'agrégation s'exprime ainsi :

{k}_{0}\left(i,j\right)=4\pi\left({D}_{i}+{D}_{j}\right)\left({R}_{i}+{R}_{j}\right)

Le coefficient de diffusion est lié à la taille de la particule par l'équation de Stokes-Einstein :

{D}_{i}=\frac{\mathrm{kT}}{{f}_{i}}=\frac{\mathrm{kT}}{{6\pi \mu R}_{i}}

{f}_{i} est le facteur de friction pour la particule (sphérique) dans le fluide de viscosité dynamique \mu . On en déduit :

{k}_{0}\left(i,j\right)=\frac{2}{3}\frac{\mathrm{kT}}{\mu}\left(\frac{1}{{R}_{i}}+\frac{1}{{R}_{j}}\right)\left({R}_{i}+{R}_{j}\right)