Expression du bilan de population pour l'agglomération

Habituellement, le bilan de population s'exprime en fonction de la variable de propriété taille et fait intervenir la densité de population n\left({d}_{p},t\right).

Fondamental

Comme l'agglomération conserve les volumes et non les tailles de solides, on prend comme variable de propriété non plus la taille {d}_{p}, mais le volume {v}_{p} du cristal.

Définition

{n}_{v}\left({v}_{p},t\right) {{dv}}_{p} désigne le nombre de cristaux par unité de volume de suspension.

n\left({d}_{p},t\right) et la densité de population en fonction du volume de solide {n}_{v}\left({v}_{p},t\right) sont liés par la relation suivante, qui exprime que le nombre de particules de taille L par unité de volume de suspension reste le même, quelle que soit la variable utilisée pour le représenter :

n\left({d}_{p},t\right){{dd}}_{p}=\mathrm{nv}\left({v}_{p},t\right){{dv}}_{p}

Comme {v}_{p}={\phi }_{v}{d}_{p}^{3}

{n}_{v}\left({v}_{p},t\right)=\frac{n\left(L,t\right)}{\left(3{\phi }_{v}{d}_{p}^{2}\right)}

La même relation vaut entre le flux de particules d'entrée dans un volume de référence exprimés en fonction des deux variables {F}_{\mathrm{Ev}} et {F}_{E}, et les flux de particules de sortie {F}_{\mathrm{Sv}} et {F}_{\mathrm{S.}}. (les débits étant {Q}_{E}et {Q}_{S})

{F}_{\mathrm{ev}}\left({v}_{p},t\right)={Q}_{E}{n}_{\mathrm{vE}}{{dv}}_{p}=\frac{{F}_{E}\left(L,t\right)}{\left(3{\phi }_{v}{d}_{p}^{2}\right)}=\frac{\left({Q}_{e}{n}_{E}{{dd}}_{p}\right)}{\left(3{\phi }_{v}{d}_{p}^{2}\right)}
{F}_{{s}_{v}}\left({v}_{p},t\right)={Q}_{S}{n}_{v}Sd{v}_{p}=\frac{{F}_{S}\left(L,t\right)}{\left(3{\phi }_{v}{d}_{p}^{2}\right)}=\frac{\left({Q}_{s}{n}_{S}{{dd}}_{p}\right)}{\left(3{\phi }_{v}{d}_{p}^{2}\right)}

Les vitesses de croissance G et {G}_{v} sont liées par leurs définitions :

{G}_{v}=\frac{{{dv}}_{p}}{{dt}}=3{\phi }_{v}{d}_{p}^{2}\frac{{dd}_{p}}{{dt}}=3{\phi }_{v}{d}_{p}^{2}G

Remarque

  • On en déduit que si l'hypothèse de Mac Cabe est réalisée pour G (indépendant de {d}_{p}), elle n'est pas vérifiée pour {G}_{v}.

  • Le système dans lequel on écrit le bilan de population n'ayant rien à voir avec les limitations physiques du transfert de matière, on sera en limitation diffusionnelle ou non, quelle que soit la variable choisie.

  • On remarquera que Gn={G}_{v}{n}_{v}. C'est normal, car il s'agit du flux spécifique par unité de volume de croissance le long de l'axe des tailles ou des volumes exprimé en particules.m-3.s-1 et donc identique quelles que soient les variables {d}_{p} ou {v}_{p}.

Définitionvitesse de nucléation

La vitesse de nucléation désigne le nombre de cristaux engendrés par unité de temps et de volume de suspension.

Celui-ci est donc le même quel que soit le système de notations.

{r}_{\mathrm{NTv}}={r}_{\mathrm{NT}}

Le volume critique d'un germe {v}_{\mathrm{pc}} se déduit aisément de sa taille critique {d}_{\mathrm{pc}} :

{v}_{\mathrm{pc}}={\phi }_{v}{d}_{\mathrm{pc}}^{3}

Dans un bilan de population, les deux termes d'agglomération s'expriment en fonction de la vitesse spécifique d'une agglomération {R}_{\mathrm{AG}} entre deux populations respectivement de volumes {v}_{{p}_{1}} et {v}_{{p}_{2}} et de concentrations en particules respectives {N}_{1} et {N}_{2} (nombre de cristaux/unité de volume de suspension) :

Considérons maintenant la classe de volume compris entre {v}_{p} et {v}_{p}+{{dv}}_{p}. On va exprimer la vitesse spécifique d'une agglomération {R}_{\mathrm{AG}} entre deux agglomérats de taille {v}_{{p}_{1}} et {v}_{{p}_{2}} tels que {v}_{{p}_{1}}+{v}_{{p}_{2}}={v}_{p} pour une agglomération sans génération de porosité interne, donnant un agglomérat qui vient se ranger dans la classe en question :

{R}_{\mathrm{AG}}={\beta }_{\mathrm{AG}}\left({v}_{{p}_{1}},{v}_{{p}_{2}}\right){n}_{v}\left({v}_{{p}_{1}},t\right){n}_{v}\left({v}_{{p}_{2}},t\right){{dv}}_{{p}_{1}}{{dv}}_{{p}_{2}}

Symétriquement, la vitesse spécifique d'agglomération entre un cristal de volume {v}_{p}\mathrm{'} et un cristal de la classe {v}_{p} s'écrit: :

{\beta }_{\mathrm{AG}}\left({v}_{p}\mathrm{'},{v}_{p}\right){n}_{v}\left({v}_{p}\mathrm{'},t\right){n_v}\left({v}_{p},t\right){{dv}}_{p}\mathrm{'}{{dv}}_{p}

On peut alors tenir compte de toutes les collisions possibles impliquant la classe {v}_{p}, en prenant garde à ne pas compter deux fois la même collision entre {v}_{{p}_{1}} et {v}_{{p}_{2}}. On a alors, pour expression du terme d'agglomération relatif à la taille {v}_{p} ( Mersmann, 2001) :

\frac{1}{2}{\int }_{0}^{{v}_{p}}{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p1}}\right){n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p2}}\right){{dv}}_{\mathrm{p1}}{{dv}}_{\mathrm{p2}}-{n}_{v}\left({v}_{p}\right){{dv}}_{p}{\int }_{0}^{\infty }{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left(v{\mathrm{'}}_{p}\right){dv}{\mathrm{'}}_{p}

Le premier terme fait la somme de toutes les créations possibles de particules de taille {v}_{p} par agglomération, le second terme celui de toutes les disparitions possibles de ces mêmes particules.

Comme {v}_{{p}_{2}}={v}_{p}–{v}_{{p}_{1}}, on peut écrire ce terme :

\frac{{{dv}}_{p}}{2}{\int }_{0}^{{v}_{p}}{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p1}}\right){n}_{v}\left({v}_{p}-{v}_{\mathrm{p1}}\right){{dv}}_{\mathrm{p1}}-{n}_{v}\left({v}_{p}\right){{dv}}_{p}{\int }_{0}^{\infty }{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left(v{\mathrm{'}}_{p}\right){dv}{\mathrm{'}}_{p}

et pour le bilan de population complet en fonction de la variable {v}_{p} :

\begin{array}{c}\frac{1}{V}\frac{\partial \left({n}_{v}V\right)}{\partial t}+\frac{\partial \left({G}_{v}{n}_{v}\right)}{\partial {v}_{p}}+\frac{\left({Q}_{S}{n}_{\mathrm{vS}}-{Q}_{E}{n}_{\mathrm{vE}}\right)}{V}-{r}_{N}\delta \left({v}_{p}-{v}_{\mathrm{pc}}\right) =\\ \frac{1}{2}{\int }_{0}^{{v}_{p}}{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left({v}_{\mathrm{p1}}\right){n}_{v}\left({v}_{p}-{v}_{\mathrm{p1}}\right){{dv}}_{\mathrm{p1}}-{n}_{v}\left({v}_{p}\right){\int }_{0}^{\infty }{\beta }_{\mathrm{AG}}{n}_{v}\left(v{\textrm{'}}_{p}\right){dv}{\textrm{'}}_{p}\end{array}

{Q}_{s}{n}_{\mathrm{vS}}{{dv}}_{p} et {Q}_{e}{n}_{\mathrm{vE}}{{dv}}_{p} sont respectivement le flux de particules sortant et le flux de particules entrant dans le volume V pour les tailles comprises entre {v}_{p} et {v}_{p}+{{dv}}_{p} ; \delta est la fonction de Dirac.