Expression du bilan de population pour l'agglomération
Habituellement, le bilan de population s'exprime en fonction de la variable de propriété taille {d}_{p} et fait intervenir la densité de population[1] n\left({d}_{p},t\right)[1].
Fondamental :
Comme l'agglomération[2] conserve les volumes et non les tailles de solides, on prend comme variable de propriété non plus la taille {d}_{p}, mais le volume {v}_{p} du cristal.
Définition :
{n}_{v}\left({v}_{p},t\right)[4] {{dv}}_{p} désigne le nombre de cristaux par unité de volume de suspension.
n\left({d}_{p},t\right)[1] et la densité de population en fonction du volume de solide[4] {n}_{v}\left({v}_{p},t\right)[4] sont liés par la relation suivante, qui exprime que le nombre de particules de taille L par unité de volume de suspension reste le même, quelle que soit la variable utilisée pour le représenter :
Comme {v}_{p}={\phi }_{v}{d}_{p}^{3}
La même relation vaut entre le flux de particules d'entrée dans un volume de référence exprimés en fonction des deux variables {F}_{\mathrm{Ev}} et {F}_{E}, et les flux de particules de sortie {F}_{\mathrm{Sv}} et {F}_{\mathrm{S.}}. (les débits étant {Q}_{E}[5]et {Q}_{S}[6])
Les vitesses de croissance G[7] et {G}_{v} sont liées par leurs définitions :
Remarque :
On en déduit que si l'hypothèse de Mac Cabe est réalisée pour G[7] (indépendant de {d}_{p}), elle n'est pas vérifiée pour {G}_{v}.
Le système dans lequel on écrit le bilan de population n'ayant rien à voir avec les limitations physiques du transfert de matière, on sera en limitation diffusionnelle ou non, quelle que soit la variable choisie.
On remarquera que Gn={G}_{v}{n}_{v}. C'est normal, car il s'agit du flux spécifique par unité de volume de croissance le long de l'axe des tailles ou des volumes exprimé en particules.m-3.s-1 et donc identique quelles que soient les variables {d}_{p} ou {v}_{p}[8].
Définition : vitesse de nucléation
La vitesse de nucléation[9] désigne le nombre de cristaux engendrés par unité de temps et de volume de suspension.
Celui-ci est donc le même quel que soit le système de notations.
Le volume critique[10] d'un germe {v}_{\mathrm{pc}}[10] se déduit aisément de sa taille critique {d}_{\mathrm{pc}} :
Dans un bilan de population, les deux termes d'agglomération[2] s'expriment en fonction de la vitesse spécifique d'une agglomération[11] {R}_{\mathrm{AG}}[11] entre deux populations respectivement de volumes {v}_{{p}_{1}} et {v}_{{p}_{2}} et de concentrations en particules[12] respectives {N}_{1} et {N}_{2} (nombre de cristaux/unité de volume de suspension) :
Considérons maintenant la classe de volume compris entre {v}_{p}[8] et {v}_{p}+{{dv}}_{p}. On va exprimer la vitesse spécifique d'une agglomération[11] {R}_{\mathrm{AG}}[11] entre deux agglomérats de taille {v}_{{p}_{1}} et {v}_{{p}_{2}} tels que {v}_{{p}_{1}}+{v}_{{p}_{2}}={v}_{p} pour une agglomération[2] sans génération de porosité interne, donnant un agglomérat qui vient se ranger dans la classe en question :
Symétriquement, la vitesse spécifique d'agglomération[11] entre un cristal de volume {v}_{p}\mathrm{'} et un cristal de la classe {v}_{p}[8] s'écrit: :
On peut alors tenir compte de toutes les collisions possibles impliquant la classe {v}_{p}[8], en prenant garde à ne pas compter deux fois la même collision entre {v}_{{p}_{1}} et {v}_{{p}_{2}}. On a alors, pour expression du terme d'agglomération[2] relatif à la taille {v}_{p}[8] ( Mersmann, 2001[13]) :
Le premier terme fait la somme de toutes les créations possibles de particules de taille {v}_{p}[8] par agglomération, le second terme celui de toutes les disparitions possibles de ces mêmes particules.
Comme {v}_{{p}_{2}}={v}_{p}–{v}_{{p}_{1}}, on peut écrire ce terme :
et pour le bilan de population complet en fonction de la variable {v}_{p}[8] :
{Q}_{s}{n}_{\mathrm{vS}}{{dv}}_{p} et {Q}_{e}{n}_{\mathrm{vE}}{{dv}}_{p} sont respectivement le flux de particules sortant et le flux de particules entrant dans le volume V pour les tailles comprises entre {v}_{p}[8] et {v}_{p}+{{dv}}_{p} ; \delta est la fonction de Dirac.