Exercice : Force de frottement sur un ensemble de particules contenues dans un milieu poreux et perméabilité
On force un liquide à s'écouler dans un milieu poreux. Le gradient de pression sert à surmonter la force de frottement (traînée) à la surface de chaque sphère (constituant le milieu poreux) considérée éloignée de ses voisines.
Question
Calculer la force de frottement sur l'ensemble des particules du milieu poreux. En égalisant la force (poussée) extérieure et la force de frottement, en déduire l'expression de la perméabilité.
Solution
La force de frottement sur chaque particule est égale à : \[F=3\pi \mu {{d}}_{p}U\]
\[U\] est la vitesse d'écoulement.
La somme des forces de frottement qui s'exercent sur \[N\] particules contenues dans un cylindre de section \[S\] et de longueur \[h\] est : \[F=N3\pi \mu {d}_{p}U=\frac{6\phi }{\pi {d}_{p}^{3}}\mathrm{Sh}3\pi \mu {d}_{p}U\]
La force de pression pour maintenir la vitesse d'écoulement \[U\] est \[F=\Delta \mathrm{pS}\]
On a donc l'égalité :
Soit \[U=\frac{{d}^{2}}{18\phi \mu }\frac{\Delta p}{h}\]
D'où \[k=\frac{{d}_{p}^{2}}{18\phi }\]