Exercice : Calcul de la vitesse et de l'énergie minimale de mise en suspension

La mise en suspension de particules solides dans l'eau nécessite un calcul de dimensionnement préalable.

On veut suspendre dans l'eau à température de \[{20}^{°}C\] (\[\nu ={10}^{–6}{m}^{2}.{s}^{–1}\]) des particules solides de diamètre \[100\mu m\], de masse volumique \[1500{\mathrm{kg.m}}^{–3}\].

On dispose d'une cuve d'essais industriels et d'une cuve de laboratoire de diamètres respectifs \[T=H=1m\] et \[0,2m\], agitées par une hélice profilée avec un diamètre d'agitateur dans le rapport \[{D}_{T}/D=3\] et une altitude d'agitateur \[C={D}_{T}/3\] par rapport au fond (\[{N}_{p}=0,8\] ; \[{S}_{z}=7\]). On donne l'accélération de la pesanteur \[g=10{\mathrm{m.s}}^{–2}\].

Question

Calculez les vitesses d'agitation minimales \[{N}_{\mathrm{JS}}\][1] ou \[{N}_{\mathrm{min}}\][2] par les diverses méthodes selon que la fraction volumique de solide \[{\phi }_{S}\][3] vaut 0,01 ou 0,05.

Indice

Que vaut le nombre d'Archimède \[\mathrm{Ar}\][4] ? Que signifie la valeur trouvée pour ce nombre ?

Solution

Le nombre d'Archimède \[\mathrm{Ar}\][4] vaut :

\[\mathrm{Ar}=\frac{{d}_{p}^{3}g\mid {\rho }_{S}-{\rho }_{L}\mid }{{\rho }_{L}{\nu }^{2}}=\frac{{10}^{-12}×10×\mid 1500-1000\mid }{1000×{10}^{-12}}=5\]dans tous les cas.

Une valeur aussi faible de \[\mathrm{Ar}\] permet de considérer qu'il y aura, dans tous les cas, assez peu de sédimentation de la phase solide.

Question

Quelles valeurs de la vitesse d'agitation faut-il prendre pour chaque fraction volumique de solide ?

Comment se traduit l'augmentation de cette fraction volumique ?

Indice

On calcule d'abord les puissances spécifiques minimales de mise en suspension par la méthode de Mersmann pour les conditions de la mise en suspension et la non-re-déposition, puis les énergies dissipées correspondantes.

Solution

À partir de la puissance par unité de masse \[{\epsilon }_{M}\][5] par la méthode de Mersmann, on calcule la vitesse minimale d'agitation correspondante par :

\[{\epsilon }_{M}=\frac{4}{\pi }{N}_{p}{N}^{3}{D}^{2}{\left(\frac{D}{{D}_{T}}\right)}^{2}\frac{D}{H}=\frac{4}{{\pi }^{4}}{N}_{p}{\left(\frac{D}{{D}_{T}}\right)}^{2}\frac{{u}_{\mathrm{tip}}^{3}}{H}\]

et donc :

\[{N}_{\mathrm{min}}={\left(\frac{\pi {\epsilon }_{M}{\mathrm{HT}}^{2}}{4{N}_{p}{D}^{5}}\right)}^{1/3}\]

Le nombre de puissance \[{N}_{p}\][6] est lui-même fonction de la fraction volumique de solide \[{\phi }_{S}\][3]. Rappel de l'équation :

\[{N}_{p,{\phi }_{s}}={N}_{p,{\phi }_{s}=0}\left(1+\frac{{\phi }_{s}}{0,3+{N}_{p,{\phi }_{s}=0}}\right)\]

\[{\Phi }_{S}=0,01\] donne \[{N}_{p}=0,8\] ; \[{\Phi }_{S}=0,05\] donne \[{N}_{p}=0,834\].

Reprenez les équations de l'énergie dissipée pour la mise en suspension, et de l'énergie dissipée pour la non-re-déposition :

\[{\epsilon }_{\mathrm{M1}}=200{\mathrm{Ar}}^{1/2}{\phi }_{S}{\left(1-{\phi }_{S}\right)}^{n}\left(\frac{\nu g\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)}{H{\rho }_{L}}\right){\left(\frac{{D}_{T}}{D}\right)}^{5/2}\]
\[{\epsilon }_{\mathrm{M2}}=0,38{\mathrm{Ar}}^{1/8}\left({\phi }_{S}{\left(1-{\phi }_{S}\right)}^{n}\right){\left(\frac{g\left({\rho }_{S}-{\rho }_{L}\right)}{{\rho }_{L}}\right)}^{3/2}{d}_{p}^{1/2}\]

Dans ces équations, l'exposant n de Richardson et Zaki vaut :

\[n=2,4+1,4\left(1,57–\mathrm{Atan}\left(\frac{\mathrm{Ar}}{300}\right)\right)=4,4\]
Attention

  • La fonction Atan donne un résultat en radians.

  • Pour la corrélation de Zwietering, le calcul est inverse : d'abord \[{N}_{\mathrm{JS}}\][1], puis \[{\epsilon }_{M}\][5].

\(\color{blue}3,5\)

Synthèse des résultats

Petite cuve

\(T=0,2\) (m)

Condition de mise en suspension

Condition de non-redéposition

Corrélation de Zwietering

 

\(\Phi_S\)

 

0,01

0,05

0,01

0,05

0,01

0,05

Vitesse d'agitation

minimale

\(N_\textrm{min}\) ou \(N_{JS}\) (s-1)

\(\color{blue}\bf{2,2}\)

\(\color{blue}\bf{3,4}\)

1,45

2,35

\(\color{red}\it 3,3\)

\(\color{red}\it 4,1\)

Énergie dissipée

minimale

\(\varepsilon_{M1}\) ou \(\varepsilon_{M2}\) (W / kg )

\(\color{blue}\bf{1,7.10^{-3}}\)

\(\color{blue}\bf {7,0.10^{-3}}\)

5.10-4

2,1.10-3

\(\color{red}\it 6,1.10^{-3}\)

\(\color{red}\it 1,17.10^{-2}\)

Grande cuve

\(T=1\) (m)

Condition de mise en suspension

Condition de non-redéposition

Corrélation de Zwietering

 

\(\Phi_S\)

 

0,01

0,05

0,01

0,05

0,01

0,05

Vitesse d'agitation

minimale

\(N_\textrm{min}\) ou \(N_{JS}\) (s-1)

0,45

0,69

\(\color{blue}\bf{0,49}\)

\(\color{blue}\bf{0,79}\)

\(\color{red}\it 0,85\)

\(\color{red}\it 1,05\)

Énergie dissipée

minimale

\(\varepsilon_{M1}\) ou \(\varepsilon_{M2}\) (W / kg )

3,3.10-4

1,4.10-3

\(\color{blue}\bf{5.10^{-4}}\)

\(\color{blue}\bf{2,1.10^{-3}}\)

\(\color{red}\it 2,6.10^{-3}\)

\(\color{red}\it 4,8.10^{-3}\)

Des deux conditions, il convient de retenir la valeur la plus importante (en bleu gras) entre les conditions de la mise en suspension et la non-re-déposition. On vérifie bien ici que, pour une géométrie de cuve, un solide, et un fluide donnés, \[{\varepsilon }_{M1}\] (mise en suspension) sera plus grand aux petites tailles d'installation (\[H\mathrm{faible}\]), alors que \[{\varepsilon }_{M2}\] (non-re-déposition) sera prépondérant aux grandes tailles de cuve.

On compare ensuite la valeur en gras au critère empirique de Zwietering pour la vitesse d'agitation minimale, qui fournit quasiment toujours la condition la plus exigeante (en rouge italique). Cette dernière sera donc retenue pour les conditions de fonctionnement du cristallisoir. Si la condition de Zwietering est la plus exigeante, cela est probablement dû au fait que le raisonnement de Mersmann suppose que l'intégralité de l'énergie cinétique agit dans les processus de mise en suspension et de non-re-déposition des particules alors que seule une fraction de cette énergie sert à cet usage.

Remarque

L'augmentation de la fraction volumique de solide se traduit toujours par une augmentation de la vitesse d'agitation et de la puissance spécifique nécessaires.