Exercice : Calcul d'un coefficient de transfert de matière solide-liquide en cuve agitée
Le calcul du coefficient de transfert de matière permet de se rendre compte si le transfert externe dans la couche limite entourant la particule va jouer un rôle ou non pendant la cristallisation.
Reprenons notre exemple de suspension dans l'eau à température de 20°C (\[\nu ={10}^{-6}\textrm{m}^{2}\textrm{s}^{-1}\]) de particules solides de diamètre 100 µm, de masse volumique \[1500{\mathrm{kg.m}}^{–3}\]. On dispose toujours des mêmes cuves d'essais industriels et de laboratoire de diamètres respectifs \[{D}_{T}=H=\]1 m ou 0,2 m, agitées par une hélice profilée avec un diamètre d'agitateur dans le rapport \[{D}_{T}/D=3\] et une altitude d'agitateur \[C={D}_{T}/3\] par rapport au fond (\[{N}_{p}=0,8\]). On se place dans les conditions d'agitation satisfaisant le critère de Zwietering calculées plus haut. La fraction volumique de solide \[{\phi }_{S}\] vaut 0,01 ou 0,05. La diffusivité ou coefficient de diffusion \[{D}_{m}\] de la substance se déposant sur la particule est de \[{10}^{-9}\textrm{m}^{2}\textrm{s}^{-1}\].
Question
Calculez, pour les 2 valeurs de \[{\phi }_{S}\][1], par les corrélations de Levins et Glastonbury d'une part, et Herndl et Mersmann d'autre part, le coefficient de transfert de matière \[{k}_{d}\], dont on précisera l'unité.
Indice
Commencez par calculer l'énergie dissipée et le nombre de Reynolds d'agitateur dans les différents cas de figure.
Solution
Taille \(T\) (m) | 0,2 | 0,2 | 1 | 1 |
|---|---|---|---|---|
Fraction de phase solide \(\Phi_S\) | 0,01 | 0,05 | 0,01 | 0,05 |
\(N_{JS}\) (s–1) | 3,3 | 4,1 | 0,85 | 1,05 |
\(\varepsilon_M\) (m2.s–3) | 6,1.10-3 | 1,17.10-2 | 2,6.10-3 | 4,8.10-3 |
ReA | 14814 | 18240 | 94256 | 116433 |
\(\varepsilon_M \frac{d_p^4}{\nu^3}\) | 0,61 | 1,17 | 0,26 | 0,48 |
nombre de Schmidt \(Sc = \frac{\nu}{ D_m}\) | 1000 | 1000 | 1000 | 1000 |
\(Sh\) | 6,23 | 6,83 | 5,54 | 6,02 |
\(Sh\) | 5,75 | 6,4 | 5,5 | 6,08 |
\(k_d\) (m.s–1) | 6,23.10-5 | 6,83.10-5 | 5,54.10-5 | 6,02.10-5 |
\(k_d\) (m.s–1) | 5,75.10-5 | 6,4.10-5 | 5,5.10-5 | 6,1.10-5 |
Commentez les différences observées suivant les corrélations, en fonction de la taille de la cuve et de la fraction volumique du solide.
Question
Commentez les différences selon les corrélations, en fonction de la taille de la cuve et de la fraction volumique de solide[1].
Quelles conclusions en tirez-vous ?
Indice
Réfléchissez :
d'une part, à la précision de ce type de corrélation
d'autre part, à ce que le nombre de Sherwood compare la taille de particule \[{d}_{p}\] à l 'épaisseur de la couche limite représentée par \[\frac{{D}_{m}}{{k}_{d}}\].
Solution
On peut faire trois remarques :
Lorsqu'on applique la condition de Zwietering, à fraction de solide donnée, le coefficient de transfert de matière varie peu avec l'échelle (moins de 5 %).
Les deux corrélations donnent sensiblement le même ordre de grandeur de \[{k}_{d}\] pour la grande cuve, à 10 % maximum près pour la petite cuve.
La corrélation de Herndl et Mersmann est plus sensible à la fraction volumique de solide que celle de Levins et Glastonbury.
Remarque :
La particule ayant un diamètre de 100 µm et l'épaisseur de la couche limite de transfert valant de l'ordre de 15 µm, la limitation au transfert est sérieuse sans être catastrophique.