Exercice : Calcul d'échelles caractéristiques
Il est important de connaître les valeurs relatives des tailles de particules et des échelles de turbulence, afin de déterminer les régimes prépondérants pour le mouvement relatif des particules et les transferts autour de ces particules.
Dans une cuve agitée cylindrique de diamètre \[{D}_{T}=H=\mathrm{0,2 m}\] contenant de l'eau (\[{\rho }_{L}=1000{\mathrm{kg.m}}^{–3}\], \[\nu ={10}^{–6}{m}^{2}.{s}^{–1}\]), agitée à la vitesse de 5 tours par seconde par un mobile d'agitation profilé (\[{N}_{p}=0,8\]) de diamètre \[D={D}_{T}/3\], on voudrait connaître les valeurs de l'énergie dissipée par unité de masse de fluide et des échelles de Kolmogoroff et de Batchelor.
Question
Quels vont être les régimes hydrodynamiques subis par des particules suspendues de \[200\mathrm{nm}\] (diffusivité \[{D}_{m}={10}^{–11}{\mathrm{m}}^{2}.{\mathrm{s}}^{–1}\]), \[20\mu m\] et \[200\mu m\] ?
Indice
On supposera pour simplifier que la présence éventuelle de particules solides suspendues n'affecte pas l'hydrodynamique. On calculera les échelles par les formules données dans le cours[1].
Solution
Pour ce premier cas d'une petite cuve, agitée à 5 tours par seconde, on a :
\(D_T\) (m) | 0,2 |
|---|---|
\(V_T\) (m3) | 6,3.10-3 |
\(N\) (s-1) | 5 |
\(\varepsilon_M\) (m2s-3 ou W.kg-1) | 2,15.10-2 |
\(l_K\) (μm) | 82,5 |
\(l_B\) (μm) | 0,26 |
Pour une particule de \[0,2\mu m<{l}_{B}\], elle sera en régime hydrodynamique Brownien. Elle migrera essentiellement dans le fluide par diffusion, comme une très grosse molécule.
Une particule de \[20\mu m\], de taille comprise entre \[{l}_{K}\] et \[{l}_{B}\], est en régime hydrodynamique laminaire. Sa taille moyenne la maintient à l'intérieur d'un tourbillon turbulent de fluide. Elle se déplacera sous l'effet du cisaillement du fluide à l'intérieur de ce tourbillon. Sa diffusion dans le fluide est négligeable devant ce mouvement laminaire.
Enfin, une particule de \[200\mu m\], de taille supérieure à \[{l}_{K}\], est en régime hydrodynamique turbulent. Vu sa taille, elle sera soumise aux fluctuations de vitesse et se déplacera sous l'action du champ de vitesses turbulent.
Question
Que peut-on dire si on double la vitesse d'agitation à géométrie constante ?
Indice
Regarder comment l'énergie dissipée varie avec la vitesse d'agitation.
Solution
Dans le cas d'une petite cuve, agitée à 10 tours par seconde, on a :
\(D_T\) (m) | 0,2 |
|---|---|
\(V_T\) (m3) | 6,3.10-3 |
\(N\) (s-1) | 10 |
\(\varepsilon_M\) (m2s-3 ou W.kg-1) | 0,172 |
\(l_K\) (μm) | 49 |
\(l_B\) (μm) | 0,16 |
On constate que le doublement de la vitesse d'agitation, s'il entraîne une consommation accrue d'énergie, qui est multipliée par 8, ne fait que diviser par 1,7 environ les échelles de Kolmogoroff et Batchelor. Mêmes conclusions pour les 3 particules que dans le premier cas, sauf que la particule de 200 nm ne sera pas concernée par le mouvement Brownien et subira un régime d'écoulement laminaire.
Question
Et si on prend une cuve homothétique de \[1m\] de diamètre (\[D\] vaut toujours \[{D}_{T}/3\] et \[{D}_{T}=H\]) à la même vitesse d'agitation ? Ou cette grande cuve avec la même énergie dissipée? Que vaut alors la vitesse d'agitation ? Commentez les différences.
Solution
Pour le cas d'une grande cuve, extrapolée en conservant la vitesse d'agitation à 5 tours par seconde, on a :
\(D_T\) (m) | 1 |
|---|---|
\(V_T\) (m3) | 0,785 |
\(N\) (s-1) | 5 |
\(\varepsilon_M\) (m2s-3 ou W.kg-1) | 0,520 |
\(l_K\) (μm) | 37 |
\(l_B\) (μm) | 0,12 |
On constate que la multiplication par 5 des dimensions de cuve, si elle entraîne une consommation accrue d'énergie, qui est proportionnelle au carré du diamètre d'agitateur \[D\], ne fait que diviser par 2,2 environ les échelles de Kolmogoroff et Batchelor. Même conclusions pour les 3 particules que dans le second cas.
Solution
Dans le cas d'une grande cuve, avec extrapolation à puissance dissipée par unité de masse de fluide constante, on a :
\(D_T\) (m) | 1 |
|---|---|
\(V_T\) (m3) | 0,785 |
\(N\) (s-1) | 1,72 |
\(\varepsilon_M\) (m2s-3 ou W.kg-1) | 2,15.10-2 |
\(l_K\) (μm) | 83,1 |
\(l_B\) (μm) | 0,26 |
On constate que la multiplication par 5 des dimensions de cuve, à consommation constante d'énergie par unité de masse, occasionne une réduction d'un facteur \[{D}^{–2/3}\] de la vitesse d'agitation, conserve les échelles de Kolmogoroff et Batchelor. Même conclusions pour les 3 particules que dans le premier cas.