Les Fondamentaux de la Cristallisation et de la Précipitation.
Cours

Force de frottement visqueux ou Traînée

La grandeur la plus importante relative à une particule dans un écoulement est la force (de frottement) qu'exerce la phase continue sur elle. Si la vitesse relative entre fluide et particule est notée [1], la force de frottement ou traînée [2] est :

avec

[3] est la section géométrique qu'offre la particule à l'écoulement.

Elle fait apparaître le coefficient de traînée (sans dimension) [4], fonction lui-même du nombre de Reynolds particulaire [5]. Le tableau suivant présente les différentes lois relatives au coefficient de traînée et à la traînée pour une sphère.

Coefficient de traînée et traînée pour une sphère

On se contente pour des nombres de Reynolds de l'expression :

Physiquement, dans le domaine de Stokes, les lignes de courant, qui sont régulières, contournent la sphère. Quand on augmente la vitesse d'écoulement et donc le nombre de Reynolds (), deux tourbillons apparaissent près de la sphère en aval. A nombre de Reynolds plus grand, leur taille augmente et ils s'éloignent de la sphère. La figure suivante illustre l'écoulement autour d'une sphère.

Écoulement autour d'une sphère
Écoulement autour d'une sphère

L'écoulement général dans un réacteur de cristallisation ou de précipitation est turbulent. Le rapport entre le diamètre de la particule et l'échelle de Kolmogorov , qui joue un grand rôle, peut être exprimé à partir des définitions de et de  :

[6] est une constante dépendant uniquement de la géométrie de l'installation. La taille relative de la particule vis à vis de l'échelle de Kolmogorov [7] est donc proportionnelle à , mais avec un facteur multiplicatif dépendant -faiblement- du rapport .

Pour un mélangeur cylindrique (), vaut :

[8] est le rapport entre la valeur absolue de la vitesse fluctuante [9] et la vitesse en bout de pale [10]. Avec la valeur proposée par [Mersmann et coll., 1998][11] sur le fond de cuve pour et , prend la valeur 5,5.

Ainsi :

  • Une petite particule de avec et aura un de 0,037 (régime de Stokes).

  • Une grosse particule de avec et aura un de 37 (régime de Van Allen).

  • Dans la pratique, le régime de Newton n'existe pas en cuve agitée.

  1. Vitesse relative entre une particule et le fluide (Relative particle velocity)

    Équation de définition :

    Unité : m/s

  2. Force de traînée ou force de frottement visqueux  (Force)

    Force exercée par le fluide sur les particules, entraînant une résistance hydrodynamique .

    Unité : N

  3. Section (Section)

    Section géométrique qu'offre la particule à l'écoulement.

    Unité : m2

  4. Coefficient de traînée (Drag coefficient or Stokes friction factor)

    Unité : -

  5. Nombre de Reynolds particulaire (Reynold's Number of particle)

    Équation de définition :

    Unité : -

  6. Constante (Constant)

    Constante dépendant uniquement de la géométrie de l'installation

    Cas d'un mélangeur cylindrique avec H=T  :

    Unité : -

  7. Échelle de Kolmogoroff (Kolmogoroff microscale)

    Équation de définition :

    Unité : m

  8. Constante (Constant)

    Rapport entre la valeur absolue de la vitesse fluctuante et la vitesse en bout de pale.

    Unité : -

  9. Vitesse fluctuante (Velocity)

    Unité : m/s

  10. Vitesse en bout de pale (Tip speed)

    Équation de définition :

    Unité : m/s

  11. Mersmann et coll. 1998

    Mersmann A., Werner F., Maurer S., Bartosch K., Theoretical prediction of the minimum stirrer speed in mechanically agitated suspensions, Chem. Eng. Process., vol. 37, pp. 503-510, 1998

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