Force de frottement visqueux ou Traînée

La grandeur la plus importante relative à une particule dans un écoulement est la force (de frottement) qu'exerce la phase continue sur elle. Si la vitesse relative entre fluide et particule est notée \[u\][1], la force de frottement ou traînée \[{F}_{D}\][2] est :

\[{F}_{D}={C}_{D}\left({\rho }_{L}{U}^{2}/2\right){S}_{p}\]

avec \[U={U}_{p}-{U}_{L}\]

\[{S}_{p}\][3] est la section géométrique qu'offre la particule à l'écoulement.

Elle fait apparaître le coefficient de traînée (sans dimension) \[{C}_{D}\][4], fonction lui-même du nombre de Reynolds particulaire \[{\mathrm{Re}}_{p}\][5]. Le tableau suivant présente les différentes lois relatives au coefficient de traînée et à la traînée pour une sphère.

Coefficient de traînée et traînée pour une sphère

On se contente pour des nombres de Reynolds \[Re<{10}^{3}\] de l'expression :

\[{C}_{D}=\frac{24}{R{e}_{p}}\left(1+0,15R{e}_{p}^{0,687}\right)\]

Physiquement, dans le domaine de Stokes, les lignes de courant, qui sont régulières, contournent la sphère. Quand on augmente la vitesse d'écoulement et donc le nombre de Reynolds (\[R{e}_{p}>1\]), deux tourbillons apparaissent près de la sphère en aval. A nombre de Reynolds plus grand, leur taille augmente et ils s'éloignent de la sphère. La figure suivante illustre l'écoulement autour d'une sphère.

Écoulement autour d'une sphère
Écoulement autour d'une sphère[Zoom...]

L'écoulement général dans un réacteur de cristallisation ou de précipitation est turbulent. Le rapport entre le diamètre de la particule et l'échelle de Kolmogorov \[\frac{{d}_{p}}{{l}_{K}}\], qui joue un grand rôle, peut être exprimé à partir des définitions de \[{l}_{K}\] et de \[R{e}_{p}\] :

\[\frac{{d}_{p}}{{l}_{K}}=KR{e}_{p}^{3/4}{\left(\frac{{d}_{p}}{T}\right)}^{1/4}\]

\[K\][6] est une constante dépendant uniquement de la géométrie de l'installation. La taille relative de la particule vis à vis de l'échelle de Kolmogorov \[{l}_{K}\][7] est donc proportionnelle à \[R{e}_{p}^{3/4}\], mais avec un facteur multiplicatif dépendant -faiblement- du rapport \[{d}_{p}/T\].

Pour un mélangeur cylindrique (\[H=T\]), \[K\] vaut :

\[K=\frac{1}{\pi }{\left(\frac{4{N}_{p}}{{\alpha }^{3}}\right)}^{1/4}{\left(\frac{D}{T}\right)}^{1/2}\]

\[\alpha \][8] est le rapport entre la valeur absolue de la vitesse fluctuante \[u\mathrm{'}\][9] et la vitesse en bout de pale \[{u}_{\mathrm{tip}}\][10]. Avec la valeur proposée par [Mersmann et coll., 1998][11] sur le fond de cuve \[\alpha =0,017\] pour \[{N}_{p}=1\] et \[\frac{D}{T}=0,333\], \[K\] prend la valeur 5,5.

Ainsi :

  • Une petite particule de \[{d}_{p}={10}^{–6}m\] avec \[{l}_{k}={5.10}^{–5}m\] et \[T=0,3m\] aura un \[R{e}_{p}\] de 0,037 (régime de Stokes).

  • Une grosse particule de \[{d}_{p}=1\mathrm{mm}\] avec \[{l}_{k}=5x{10}^{–5}m\] et \[T=0,3m\] aura un \[R{e}_{p}\] de 37 (régime de Van Allen).

  • Dans la pratique, le régime de Newton n'existe pas en cuve agitée.