Cristallisation de saccharose

Lors de la cristallisation continue du saccharose en cristallisoir parfaitement agité pour le solide et le liquide à un temps de passage de 3,5 heures, on récolte 323 g de sucre par dm3 de suspension. Un tamisage des cristaux sur un litre de suspension donne :

Données complémentaires :

  • Masse volumique du saccharose sec : 1590 kg/m3

  • Facteur de forme volumique du saccharose : 1

  • Taille des germes de saccharose obtenus par nucléation dans les conditions expérimentales : environ 1 µm.

Question

Calculer la distribution des tailles des cristaux (exprimées en particules par m4) pour chacune des valeurs moyennes arithmétiques des classes de taille.

Solution

Calcul de la densité de population en nombre de cristaux par classe de taille :

La densité de population est définie comme \[\psi \left(L\right)=\frac{{dN}}{{dL}}={\mathrm{lim}}_{\Delta L\to 0}\frac{\Delta N}{\Delta L}\] soit

\[{\psi }_{i}=\frac{{N}_{i}}{\Delta {L}_{i}}=\frac{{m}_{i}}{{\phi }_{v}\rho {\overline{{L}_{i}}}^{3}\Delta {L}_{i}}\]

\[\Delta {L}_{i}\] étant la largeur de la classe i et \[\overline{{L}_{i}}\] la taille moyenne de classe.

Question

Calculer les vitesses de nucléation et de croissance dans le cristallisoir à partir du tracé de \[\ln\left(n\right)\] en fonction de \[L\].

Tracé de ln(n) en fonction de LInformations[2]
Tracé de ln(n) en fonction de LInformations[3][Zoom...]

Solution

Calcul de la vitesse de nucléation et de croissance :
\[\ln\left(n\left(\mathrm{\#}/{m}^{3}/m\right)\right)=-9766,2L\left(m\right)x+33,375\]

avec

\[-\frac{1}{G\tau }=-9766,2\]
\[\frac{B}{G}=33,375\]

soit

Comme \[\tau =12600s\] alors

\[G=8,13{10}^{-9}m/s\]

et

\[\mathrm{ln}\left(\frac{B}{G}\right)\left(L=1\mu m\right)=33,365\]

soit

\[B=2,51{10}^{6}1/{m}^{3}/s\]